2021年安徽省芜湖市中考第二次模拟数学试卷（含答案）

2021年安徽省芜湖市九年级毕业暨升学模拟考试（二）

数学试卷

一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下面的答题表内（本大题共10小题，每题4分，共40分）

1. 在3，﹣3，0，﹣2这四个数中，最小的数是（　　）

A. 3 B. ﹣3 C. 0 D. ﹣2

2. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 2021年全国两会《政府工作报告》中指出，年初剩余的551万农村贫困人口全部脱贫．数据551万用科学记数法可以表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列方程中，无实数根的方程是（   ）

A.  B.

C.  D.

6. 某旅游景区去年第二季度游客数量比第一季度下降20%，第三、四季度游客数量持续增长，第四季度游客数量比第一季度增长15.2%，设第三、四季度的平均增长率为，下列方程正确的是（  ）

A.  B.

C.  D.

7. 一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 在中，，，，则长为（    ）

A. 1 B. 2 C. 或4 D. 2或4

9. 如图，矩形中，，．若是矩形边上一动点，且使得，则这样的点有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10. 如图所示，点P是边长为1正方形对角线上一动点（P与点A、C不重合），点E在上，且，设，的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（    ）

A.   B.   C.   D.  

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______．

12. 如图，已知四边形是的内接四边形，且是等边三角形，的半径为2，则劣弧的长为______．

13. 如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为_____．

14. 如图，在中，，，，点D是边上的动点，过点D作于E点．请探究下列问题：（1）若，则_____；（2）若，设点F是边上的动点，连接、，以、为邻边作平行四边形，且使得顶点G恰好落在边上，则_______．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 计算：．

16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系并给出了格点（顶点为网格线的交点）．

（1）画出关于y轴对称；

（2）以点O为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后；

（3）和之间的位置关系为_______．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．

【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？

【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：

【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）；

【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________．

18. 甲乙两人同驾一辆汽车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3小时．到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行使”．乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行使”．试求乙驾车的时长是多少小时．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）

20. 如图，在菱形ABCD中，P为对角线AC上一点，AB与经过A、P、D三点的⊙O相切于点A．

（1）求证：AP＝DP；

（2）若AC＝8，tan∠BAC＝，求⊙O的半径．

六、（本题满分12分）

21. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有______人；扇形统计图中_____度；

（2）请把条形统计图补充完整；

（3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．

七、（本题满分12分）

22. 如图，抛物线与直线相交于点，，且这条抛物线的对称轴为．

（1）若将该抛物线平移使其经过原点，且对称轴不变，求平移后抛物线的表达式及k的值：

（2）设P为直线下方的抛物线上一点，求面积的最大值及此时P点的坐标．

八、（本题满分14分）

23. 已知：正方形的边长为4，E是边上的一个动点，过点D作，交的延长线于点F，交对角线于点M，交于点N．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）随着点E在边上的运动，的值是否变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由．

参考答案

1B

2C

3A

4A

5D

6A

7A

8D

9C

10D

11.

12.

13.10．

14.  (1).     (2).

15. 4

16. （1）依据轴对称的性质，即可得到关于y轴对称的；

（2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到；

（3）通过连接, 先证，再通过,，即可求得，则．

【详解】（1）即为所求；

（2）即为所求；

（3）如图，连接,

∵

∴

∵,

∴即

∴

17. 规律探究；解决问题；；拓展应用或．

【详解】规律探究：=1+8+27=36=大正方形面积=；

故答案为：62

解决问题：由上面表示几何图形的面积探究知，，

又，

；

故答案为：；

拓展应用：，

，

．

故答案为：或．

18. 乙驾车的时长为1.8小时．

【详解】设乙驾车的时长为x小时，则甲驾车的时长为小时．

由题知甲的速度为，乙的速度为，

可得方程

解得，．

经检验，是原方程的解，当不合题意，舍去．

答：乙驾车的时长为1.8小时．

19.

【详解】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．

解析：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．

∵在Rt△BCF中， =i=1：，∴设BF=k，则CF=k，BC=2k．

又∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=．∵DF=DC+CF，∴DF=40+．∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，∴AH=tan37°×（40+）≈37.8（米），∵BH=BF﹣FH，∴BH=6﹣1.5=4.5．∵AB=AH﹣HB，∴AB=37.8﹣4.5=33.3．

答：大楼AB的高度约为33.3米．

20. 【详解】（1）证明：连接DP、OP、OA，OP交AD于E，如图1

∵直线AB与⊙O相切，

∴OA⊥AB，

∴∠BAC+∠OAP=90°，

∵OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA，

∴∠BAC+∠OPA=90°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠BAC=∠DAC，

∴∠DAC+∠OPA=90°，

∴OP⊥AD，

∴ ，

∴AP=PD；

（2）连接BD，交AC于点F，如图2，

∵四边形ABCD为菱形，

∴DB与AC互相垂直平分，

∵AC=8，tan∠BAC=tan∠DAC=，

∴AF=4，tan∠DAC=，

∴DF=2，

∴AD=，

∴AE=，

在Rt△PAE中，tan∠DAC=，

∴PE=，

设⊙O的半径为R，则OE=R-，OA=R，

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，

∴R2=（R-）2+（）2，

∴R=，

即⊙O的半径为．

21. 【详解】(1)本次调查的学生总人数为4÷10%＝40人，∠α＝360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝108°；

故答案为：40，108；

(2)C科目人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝12人，

补全图形如下：

(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好是书法与乐器组合在一起的结果数为2，

所以书法与乐器组合在一起的概率为．

22. 【详解】（1）抛物线过点，，且这条抛物线的对称轴为．

代入得，

解得．

∴抛物线为．

∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，

∴平移后的抛物线为．

将代入得．

（2）如图，过P作轴，交于Q．

设，则，

则．

∴．

∵

∴当时，的面积最大，，

当t=2时，

∴．

23. 【详解】（1）∵四边形是正方形，

∴，

又∵，

∴，

∴

∴．

（2）作，交于点I，连接，

∵，DF⊥DE，

∴DF=DE，∠FDE=90°，

则为等腰直角三角形．

∵AC为正方形对角线，∠IEC=∠B=90°，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴．

（3）不变

由（1），（2）可知为等腰直角三角形，FM=EM，

∴DM⊥FE，，

∵，

又∵，

∴．

∴．

∴．