专题19 角平分线与线段垂直平分线试卷

这是一份专题19 角平分线与线段垂直平分线试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共10题；共20分）
1.如图， 的垂直平分线 交 于点D，若 ，则 的度数是（ ）
A. 25° B. 20° C. 30° D. 15°
2.P、Q为∠AOB内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=∠AOB，PM⊥OA于M，QN⊥OB于N，PQ⊥OP，则下面结论正确的是（ ）
A. PM＞QM B. PM=QN C. PM＜QN D. PM=PQ
3.下列说法错误的是（ ）
A. 已知两边及一角只能作出唯一的三角形
B. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的三条边垂直平分线的交点
C. 腰长相等的两个等腰直角三角形全等
D. 点A（3，2）关于x轴的对称点A坐标为（3，﹣2）
4.利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为（ ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
6.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，则四边形ABCD的面积为（ ）
A. 48 B. 42 C. 36 D. 32
7.已知：如图△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF.其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
8.如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=62°，∠AEB=82°，则∠EBD的度数为（ ）
A. 108° B. 118° C. 138° D. 144°
9.正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 10个
10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连结FH，则下列结论正确的有几个（ ）
⑴AD=DF；（2） = ；（3） = ﹣1；（4）四边形BEHF为菱形．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共10题；共11分）
11.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE 的中点，且S△ABC＝4cm2 ， 则S△BEF=________cm2
12.将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F， 则∠DFC的度数为________．
13.如图，在△ABC中，∠ACB=75°，∠ABC=45°，分别以点B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N。作直线MN交BC于点E，交AB于点D，若BC=2，则AC的长为________。
14.如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是________。
15.如图，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB是∠AOC的平分线，则∠AOC的度数为________，∠COD的度数为________．
16.如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则 的值为________．
17.如图4，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=116°，那么∠A的度数是________。
18.如图，在 中， 的内、外角平分线分别交 及其延长线于点 ，则 ________
19.如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1 ，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2 ，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3 ， …，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En ．
若∠En＝1度，那∠BEC等于________度。

20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，角平分线AE交高CD于F．过E点作EG⊥AB于G．下列结论：①CF=CE；②AC=AG；③EF=EG；④CF：DF=AC：AD．其中正确的结论序号是________

三、解答题（共10题；共55分）
21.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，若∠A＝60°，求∠BFC的度数.
22.如图在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法请分别做出判断，并证明．
23.如图
（1）如图，已知△ABC，请你作出AB边上的高CD，AC边上的中线BE，角平分线AF（不写作法，保留痕迹）
（2）如图，直线l表示一条公路，点A，点B表示两个村庄．现要在公路上造一个车站，并使车站到两个村庄A，B的距离之和最短，问车站建在何处？请在图上标明地点，并说明理由．（要求尺规作图，不写作法）
24.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，求∠C的度数．
25.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
26.已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
27.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．
28.如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．
29.如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数.
30.已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
2.【答案】 C
3.【答案】 A
4.【答案】 D
5.【答案】 A
6.【答案】 B
7.【答案】 D
8.【答案】 A
9.【答案】 D
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】 1
12.【答案】105°
13.【答案】
14.【答案】 14cm
15.【答案】 60°；20°
16.【答案】
17.【答案】 52°
18.【答案】 5
19.【答案】 2n
20.【答案】 ①②④
三、解答题
21.【答案】 解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC= ∠ABC，∠FCB= ∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB= （∠ABC+∠ACB）= ×120°=60°，
在△BCF中，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°.
22.【答案】 解：甲、乙做法都正确．
甲做法：
证明：∵MN垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOM=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC=∠NCA，
在△AOPM和△CON中，
，
∴△AOPM≌△CON，
∴OM=ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形ANCM是菱形；
乙做法：
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF，
又∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE，
同理可得AB=AF，
∴BE=AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF为平行四边形
又∵AB=BE，
∴四边形ANCM是菱形
23.【答案】 （1）解：所画图形如下所示：
（2）解：画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点C，连接AC，
∵A、A′关于直线l对称，
∴AC=A′C，
∴AC+BC=A′B，
由两点之间线段最短可知，线段A′B的长即为AC+BC的最小值，故C点即为所求点．
24.【答案】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°
25.【答案】 解：连接DE，CE，设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE中， ，∴ 在Rt△BCE中， ，∴CE2=102+（50-x）2 ， 又DE=CE，∴202+x2=102+（50-x）2 ， 解得x=22∴收购站E到A站的距离为22km。
26.【答案】 证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，在Rt△OPE与Rt△OPF中， OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF， ∴OE＝OF，∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ
27.【答案】 解：如图，
∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，
∴AB＝2AD＝2CD，
∴AB＋AD＝3AD.
①当AB与AD的和是12厘米时，
AD＝12÷3＝4（厘米），
所以AB＝AC＝2×4＝8（厘米），
BC＝12＋15－8×2＝12＋15－16＝11（厘米）；
②当AB与AD的和是15厘米时，
AD＝15÷3＝5（厘米），
所以AB＝AC＝2×5＝10（厘米），
BC＝12＋15－10×2＝12＋15－20＝7（厘米）.
所以三角形的三边可能是8厘米，8厘米，11厘米或10厘米，10厘米，7厘米
28.【答案】 解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面积=△ACD面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC面积=△CDF面积，
∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，
△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，
∴△BCE面积=△ACF面积，
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，
∴四边形AECF面积=△ABC面积，
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半
29.【答案】 解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°.
30.【答案】 证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC．