2021届重庆市巴蜀中学高三下学期第一次诊断性测试数学试题（含解析）

这是一份2021届重庆市巴蜀中学高三下学期第一次诊断性测试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届重庆市巴蜀中学高三下学期第一次诊断性测试数学试题  一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B．MN C． D．【答案】B【分析】将集合M、N中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M、N的包含关系【详解】对于集合M：，k∈Z，对于集合N：，k∈Z，∵2k+1是奇数集，k+2是整数集∴MN故选：B【点睛】本题考查了集合的包含关系，由集合中元素的描述确定包含关系2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【答案】A【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．【解析】次独立重复试验． 3．下列判断中不正确的是（　　）A．命题“若，则”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C．“已知a，b，，若，则”的逆命题是真命题D．“若，则”是假命题【答案】C【分析】A中,根据题意判断原命题的真假性即可;B中,写出原命题的否命题,再判断它的真假性;C中,写出原命题的逆命题,再判断它的真假性;D中,举例说明该命题是假命题即可【详解】对于A：时， ，此时，是真命题，∴它的逆否命题也为真命题，故A正确；对于B：“矩形的两条对角线相等”的否命题是如果四边形不是矩形,则它的对角线不相等,它是假命题,如等腰梯形的对角线相等,∴B正确；对于C：,若,则,它的逆命题是:若,则,它是假命题,因为m=0时不成立,∴C错误；对于D：若,则x=1时, ，所以是假命题,D正确.故选：C4．已知椭圆的焦点，，P是椭圆上的一点，且是与的等差中项，则该椭圆的标准方程为（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】设椭圆的标准方程为．已知是椭圆上一点且是与的等差中项，可得，解得．再利用即可得出．【详解】解：设椭圆的标准方程为．是椭圆上一点且是与的等差中项，，解得．．椭圆的标准方程为．故选：C．5．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为A． B． C． D．【答案】C【详解】 ,选C.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6．已知，则的值等于(　　)A．64 B．32C．63 D．31【答案】B【分析】∵∴∴故选B7．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.8．若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是A．（-∞，+∞） B．(-2, +∞) C．(0, +∞) D．（-1，+∞）【答案】D【详解】由题意知，存在正数，使，所以，而函数在上是增函数，所以，所以，故选D.【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力. 二、多选题9．定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，下面关于的判断正确的是（　　）A．的图象关于点对称B．是函数的最大值C．在上是减函数D．，【答案】ABD【分析】由，可得，即可得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性一一判断可得；【详解】解：，，所以函数是以4为周期的函数，偶函数在，上是增函数，在，上是减函数，在，上，最大值为，是以4为周期的函数，是函数的最大值，故正确；，，，图象关于点对称，故正确；在，上是增函数，在，上是增函数，故错误；因为，所以，，故正确．故选：．10．设，是复数，给出四个命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中真命题的有（　 　）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABC【分析】利用复数的定义及其模的性质直接求解．【详解】解：由，是复数，得：在①中，若，则，的实部和虚部都相等，，故①正确；在②中，若，则，的实数相等，虚部互为相反数，，故②正确；在③中，若，则，故③正确；在④中，若，则由复数的模的性质得，如，但，故④不正确．故选：．11．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中真命题的为（     ）A．若，，则；B．若，，则；C．若，，则；D．若，，则.【答案】AB【分析】考虑空间中线线，线面，面面之间的位置关系，即线线可能相交、平行、异面；线面为相交、平行、在平面内；面面为相交、平行；借助桌面作为平面，笔为直线逐项判断即可.【详解】A.若，过直线作平面使得 ，则 ，因为， ，所以 ，故A对；B.若，，则，故B对；C.若，，则与相交、平行或异面，故C错；D.若，，则或，故D错.故选：AB12．函数的图象为C，下列结论中正确的是（     ）A．图象C关于直线对称；B．图象C关于点对称；C．函数在区间内是增函数；D．由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．【答案】ABC【分析】对于AB将自变量的值代入函数解析式，即可判断，根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质判断可得，根据三角函数的平移变换规则计算即可判断D；【详解】解：因为把代入得，，即，所以图象C关于直线对称，故正确；把代入得，，即，所以图象C关于点对称，故正确；当时，求得，所以函数在区间内是增函数，故正确；由的图象向右平移得到，故不正确．故选：．  三、填空题13．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是_________.【答案】正方形【分析】画出满足条件的图象，利用、、、分别为各边的中点，由三角形中位线定理及平行四边形判定定理，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，即可得到结论．【详解】解：连接、，、、、分别为各边的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，且，，且，四边形是正方形；故答案为：正方形．14．点E，F分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为________.【答案】【分析】取的中点，连接，则由已知条件可得为异面直线与所成的角，然后在中求解即可【详解】解：如图，取的中点，连接，因为E，F分别是三棱锥的棱，的中点，，，所以∥，，∥，，所以为异面直线与所成的角，因为，所以，所以，即，所以异面直线与所成的角为15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________．【答案】【分析】由，求解的范围得答案．【详解】解：的定义域为，由，解得．函数的定义域为．故答案为：．16．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”“特斯拉全自动驾驶芯片”寒武纪云端AI芯片“思元270”赛灵思“Versal自适应计算加速平台”.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为________.【答案】【分析】基本事件总数n=15×15×15=3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响,基本事件总数n=15×15×15=3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率.【点睛】概率的计算:(1) 等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件（也可用排列组合计算事件个数）,直接套公式求概率；(2)互斥（对立）事件、相互独立事件（条件概率）套公式求概率(3)二项分布（超几何分布）直接套公式求概率. 四、解答题17．等差数列{}中，.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.【详解】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有.解得.所以的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.当n=1,2,3时，；当n=4,5时，；当n=6,7,8时，；当n=9,10时，.所以数列的前10项和为.【解析】等差数列的通项公式，数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错. 18．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点．（1）求的值；（2）若函数，求函数在区间上的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据三角函数的定义,求出角的正弦、余弦、正切,再结合二倍角公式,即可得到结论;（2）先将函数化简,确定角的范围,利用三角函数的性质,即可求得函数的值域.【详解】（1）因为角终边经过点所以，（2）则故函数在区间上的值域是【点睛】本题考查三角函数的定义,两角和差公式，二倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质，属于中档题.19．已知函数在半个周期内的图象的如图所示，为图象的最高点，，是图象与直线的交点，且.（1）求的值及函数的值域；（2）若，且，求的值.【答案】(1).（2）.【详解】试题分析：（1）利用辅助角公式化简函数解析式为.由，，可得，是等腰直角三角形.由点到直线的距离为，得函数的周期为，从而可得解析式，，进而可得函数的值域；（2）由，且，可求出的正弦值和余弦值，，利用两角和的正弦公式可得结果.试题解析：（1）函数化简得.因为，所以，所以，所以，所以是等腰直角三角形.又因为点到直线的距离为4，所以，所以函数的周期为16.所以，函数的值域是.（2）由（1），知因为，所以因为，所以，所以，所以.20．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．【答案】【分析】由，利用数量积的定义可得的值，进而由向量夹角的余弦公式代入计算可得答案．【详解】， ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，∴故答案为：21．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由 即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求证：当时，．【答案】（1）；（2）具体见解析.【分析】（1）由即可得到答案；（2）先解出的范围，进一步求出函数的值域，即可证得.【详解】（1）最小周期为；（2）则，∴.