等差数列与等比数列练习题

等差数列与等比数列

副标题

1. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则  

A.   B.  C.  D.

2. 设为等比数列的前项和，若，，，则等比数列的公比的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

3. 设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为   

A.  B.  C.  D.

4. 在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

问题：设是数列的前项和，且，          ，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．






 

5. 设数列，是公比不相等的两个等比数列，数列满足，．
   若，，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求的值；若不存在，说明理由；
   证明：不是等比数列．
   
   
   
   
   
   
    
6.  设等差数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是  

A.  B.
C.  D.

7. 已知等比数列的公比为，前项和，设，记的前项和为，则下列判断正确的是   

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

8. 在数列中，，且对任意的，都有．证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
   设，记数列的前项和为，若对任意的都有，求实数的取值范围．
   
   
   
   
   
   
    
9. 已知数列的前项和为，，数列满足：，数列为等差数列．

求与的通项公式；

设，数列的前项和为若对于任意均有，求正整数的值．






 

10. 已知为数列的前项和，，．
    设数列中，，求证：是等比数列；
    设数列中，，求证：是等差数列；
    求数列的通项公式及前项和．
    
    
    
    
    
    
     
11. 已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为

A.  B.  C.  D.

12. 在等差数列中，是其前项的和．

证明：成等差数列；

结合的结论及其证明过程，在正项等比数列中写出类似的结论，并给出证明．






 

13. 已知等比数列的公比，其前项和为，满足，若，则的最小值为          ．
14. 已知等比数列的前项和为，，，数列的前项和为，且，．
    分别求数列和的通项公式；
    若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，其中，，成等差数列，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式及数列的递推关系，属于较综合的中档题．
先由，为等差数列，求出，即得，从而，化简得数列的递推公式，利用累积法可得．

【解答】

解：，为等差数列，
当时，，
当时，，
则公差为，
，即，
时，，
两式相减化简得：时，
，
，
易知也满足上式，
所以，，
故选D．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的前项和中的基本量计算，属于中档题．
根据等比数列前项和公式，结合题意和指数幂的性质进行求解即可．

【解答】

解：设等比数列的公比为，

因为，，，所以，

，因为，

所以有，

因为，所以，

因此要想对于恒成立，只需，而，

所以．

故选：

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等差数列的求和，等差数列的性质，利用基本不等式求最值，考查学生的计算能力，属于较难题．
根据等差数列的性质设，，，再利用基本不等式即可求得的最小值．

【解答】

解：由题意得，
根据等差数列的性质，得成等差数列，
设，则，，
则，
当且仅当时等号成立，
从而的最小值为，
故选B．

4.【答案】解：选
因为，，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以．
当为奇数时，，
因为是单调递减函数，所以此时的最大值为．
同理当为偶数时，，
且．
综上，存在最大值，且最大值为．
选
因为，，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以．
因为是递减的等差数列且，
令，得，
所以存在最大值，且最大值为或，
因为，所以的最大值为．
选
因为，所以，
所以，，，，
则
，
又，所以，
且满足时的情况，
所以，
当时，，
故不存在最大值．
 

【解析】本题主要考查了由数列的递推关系求数列的通项公式，数列的函数特征，等差数列的通项公式及求和公式，等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
选根据，，可得是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的求和公式可得存在最大值；
选因为，，所以是首项为，公差为的等差数列，根据的解确定出的最大值．
选利用累加法可得，根据时的取值特点分析出不存在最大值．
 

5.【答案】解：因为为等比数列，
所以，
将代入上式，得
，
即，
整理得，
解得或．
证明：设，的公比分别为，，，
，
为证不是等比数列只需证，
因为，
，
由于，，
又，不为零，
因此，
故不是等比数列．
 

【解析】本题考查等比数列的概念和基本性质，需要一定的推理和运算能力，属于较难题．
利用等比数列的性质可推断出，整理后解得．
设，的公比分别为，，，为证不是等比数列只需证，即可得出答案．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性、单调性、等差数列的通项公式、等差数列性质、等差数列求和公式以及函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题．
根据等式，构造函数，求导函数，可知函数是单调递增的，再利用函数的单调性即等差数列的求和公式，即可得到结论．

【解答】

解：由于函数是奇函数，
求导函数可得：，所以函数是单调递增的，
由条件有，．
，，
，，
由等差数列的性质可知：，
．
综上知，，且，
故选D．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的求和，根据公比的范围讨论是解题的关键．
由等比数列的前项和的范围求得公比的范围，把表示为的关系式，再对分类讨论即可．

【解答】

解：由于是等比数列，，所以，

当时，，符合题意；

当时，，即，
上式等价于或
解，由于可能是奇数，也可能是偶数，
所以，
解得．

综上所述，的取值范围是．

，
所以，
所以，
而，且．

所以，当，或时，
，即，故BD选项正确，

当时，
，即，则选项错误．

当或时，
，选项错误．

综上所述，正确的选项为．

故选：．

8.【答案】解：由，可得
又，，
所以．
所以首项为，公比为的等比数列．
所以．
所以
．
因为
，
所以

．
又因为对任意，都有，
所以恒成立，即，
易知当时，有最小值，为，
所以实数的取值范围为．
 

【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，属于拔高题．
通过可得推出是首项为，公比为的等比数列，然后求解通项公式．
因为，利用裂项消项法，求解数列的和，然后求解的范围．
 

9.【答案】解：由题意知，
当时，，
时，，
显然也满足，故，
因为，数列为等差数列，，则，解得：
等差数列的首项为，公差为，
所以 ，即．

由可得：，

．

当为奇数时，，又随增加而增加，此时；

当为偶数时，，
令，则，当为偶数时，恒有．

综合知，
满足题意的．

【解析】本题考查数列的递推关系及通项公式，等差数列的应用，以及裂项相消法求和，分组转化法求和，是较难题．
由，求出，由数列为等差数列．以及，即可求解出 ，从而求出的通项公式；
由可得：，利用分组转化法求和和裂项相消法，等比数列求和公式求解．
 

10.【答案】解：由，
又，得，
故，
，
，
得，
即，
变形，得，
，
，又，
由此可知，数列是首项为，公比为的等比数列；
，
，
由可得，
则，，
由此可知，数列是首项为，公差为的等差数列；
由可得，
；
当时，，
由于也适合上式，
所以的前项和公式为
 

【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的判定，考查学生的计算能力．
根据递推关系得到，利用等比数列的定义即可证明数列是等比数列；
利用等差数列的定义即可证明数列是等差数列；
求出数列的通项公式，代入递推公式即可求数列的前项和．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式以及前项和的公式，属于较综合的中档题．
根据，代入前项和公式求出，结合求出的值，即可求解．

【解答】

解：设等比数列的公比为，
当时，，不符合题意；
当时，，

，得．
又，

，解得，

，．
故选D．

12.【答案】因为在等差数列中，有，

所以

所以

又因为，
所以，

所以成等差数列．

类似地，设各项为正数的等比数列中，是其前项的积，
则成等比数列，

证明如下：

设数列的公比为，

则
，

又，所以，
同理，

所以，

所以成等比数列．

【解析】本题考查、等差数列、等比数列的判定与证明，属于较综合的中档题．
由，分别得到，根据等差中项即可证明；

类比可得出在各项为正数的等比数列中，是其前项的积，则成等比数列，利用等比中项即可证明。

13.【答案】．
 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的前项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题．
利用等比数列的前项和公式可得：，则，再利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】

解：，
，
化为，
，


，
当且仅当，即时取等号．
的最小值为．
故答案为．

14.【答案】解：因为数列为等比数列，
设首项为，公比为，
由题意可知，所以，
所以，
由可得，
即，所以或，
因为，所以，
所以，
所以，
由，
可得，
所以数列为等差数列，首项为，公差为，
故，则，
当时，，
当时，也适合上式，
故．
由，可得，
所以
，
所以

，
假设存在不同的正整数，，其中，，成等差数列，使得，，成等比数列，
则有，
所以，
则，
即，
因为，所以，即，
所以，
所以，
则，
所以，则，
所以，即，
所以，这与已知的，，互不相等矛盾，
故不存在不同的正整数，，其中，，成等差数列，使得，，成等比数列．
 

【解析】本题考查了数列的综合应用，涉及了数列求通项公式、数列求和的应用，涉及了等差中项、等比中项的应用，等差数列、等比数列通项公式的应用以及裂项相消法求和的应用，对学生的思维能力和化简运算能力要求很高．
利用数列为等比数列，将已知的等式利用首项和公比表示，得到一个方程组，求解即可得到首项和公比，结合等比数列的通项公式即可求出；将已知的等式变形，得到数列为等差数列，利用等差数列通项公式求出，再结合数列的第项与前项和之间的关系进行求解，即可得到；
先利用等比数列求和公式求出，从而得到的表达式，然后利用裂项相消求和法求出，假设存在不同的正整数，，其中，，成等差数列，使得，，成等比数列，利用等比中项、等差中项以及进行化简变形，得到假设不成立，故可得到答案．