高考数学(文数)一轮复习课时练习：5.2《等差数列及其前n项和》(教师版)

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课时规范练A组　基础对点练1．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)A．－1　　　　　　　　 B．0C.  D.解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，数列{an}单调递增，∴a2＝，a4＝.∴公差d＝＝.∴a1＝a2－d＝0.答案：B2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8－S4＝36，a6＝2a4，则a1＝(　　)A．－2  B．0C．2  D．4解析：设等差数列{an}的公差为d，∵S8－S4＝36，a6＝2a4，∴解得故选A.答案：A3．等差数列{an}中，a1＝1， an＝100(n≥3)．若{an}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为(　　)A．3,7,9,15,100  B．4,10,12,34,100C．5,11,16,30,100  D．4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d＝＝.又因为d∈N，n≥3，所以n－1可能为3,9,11,33,99，n的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B.答案：B4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5  B．7C．9  D．11解析：因为{an}是等差数列，∴a1＋a5＝2a3，即a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A.答案：A5．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)A．12  B．13C．14  D．15解析：由S5＝，得25＝，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.答案：B6．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于____．解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1，又∵an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：107．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5.答案：58．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5＝5a4－10，求数列{an}的公差．解析：由S5＝5a4－10，得5a3＝5a4－10，则公差d＝2.9．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：∵bn＝，且 an＝，∴bn＋1＝＝＝，∴bn＋1－bn＝－＝2.又∵b1＝＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝.∴数列{an}的通项公式为an＝.     B组　能力提升练1．已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝(　　)A．0  B．－109C．－181  D．121解析：设等差数列{bn}的公差为d，则d＝b3－b2＝－14，因为an＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝[(b2－d)＋(b2＋5d)]＝－112，又a1＝3，则a8＝－109.答案：B2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(　　)A．18  B．12C．9  D．6解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.答案：D3．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，公比为q，数列{cn}中，cn＝anbn，Sn是数列{cn}的前n项和．若Sm＝11，S2m＝7，S3m＝－201(m为正偶数)，则S4m的值为(　　)A．－1 601  B．－1 801C．－2 001  D．－2 201解析：令A＝Sm＝11，B＝S2m－Sm＝－4，C＝S3m－S2m＝－208，则qm·A＝(a1b1＋a2b2＋…＋ambm)qm＝a1bm＋1＋…＋amb2m.故B－qm·A＝(am＋1－a1)bm＋1＋…＋(a2m－am)b2m＝md(bm＋1＋…＋b2m)，其中，d是数列{an}的公差，q是数列{bn}的公比．同理C－qm·B＝md(b2m＋1＋…＋b3m)＝md(bm＋1＋…＋b2m)·qm，故C－qm·B＝qm(B－qm·A)．代入已知条件，可得11(qm)2＋8qm－208＝0，解得qm＝4或qm＝－(因m为正偶数，舍去)．又S4m－S3m＝(a1b1＋a2b2＋…＋ambm)q3m＋3md(bm＋1＋…＋b2m)q2m＝11×43＋3(B－qm·A)×42＝11×43－3×12×43＝－1 600.故S4m＝S3m－1 600＝－1 801.答案：B  4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为(　　)A．9  B．10C．11  D．12解析：由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝－2t，其中t>0，因此a10＝t，a11＝－t，即当n＝10时，Sn取得最大值，故选B.答案：B5．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于__________．解析：S11＝＝11a6，设公差为d，由a9＝a12＋6得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.答案：1326．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．解析：由已知得，解得a1＝－3，d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函数f(x)＝－在x＝处取得极小值，又n＝6时，6S6＝－48，n＝7时，7S7＝－49，故nSn的最小值为－49.答案：－497．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．解析：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，故数列{an}为等差数列．设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72得，解得a1＝2，d＝4.故an＝4n－2，则bn＝an－30＝2n－31，令即解得≤n≤，∵n∈N*，∴n＝15，即数列{bn}的前15项均为负值，∴T15最小．∵数列{bn}的首项是－29，公差为2，∴T15＝＝－225，∴数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－225.8．在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.(1)求an；(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．解析：(1)当n＝1时，a2＋a1＝－42，a1＝－23，∴a2＝－19，同理得，a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列．从而an＝(2)当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2·(n－1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－·44＝－22n，故当n＝22时，Sn取得最小值为－242.当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋·(－44)＝－23＋－22(n－1)＝－22n－.故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.