高考数学(文数)一轮复习课时练习：5.5《数列的综合应用》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习课时练习：5.5《数列的综合应用》(教师版)，共7页。试卷主要包含了故选A.等内容，欢迎下载使用。
课时规范练A组　基础对点练1．已知an＝(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为(　　)A．99　　　　　　　　 B．100C．101  D．102解析：由通项公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝0，a101＝>0，故选C.答案：C2．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若q＝2，且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝(　　)A．62  B．－62C．32  D．－32解析：依题意得a2＋2a4＝36，q＝2，则2a1＋16a1＝36，解得a1＝2，因此S5＝＝62，选A.答案：A3．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．若p－q＝10，则ap－aq＝(　　)A．14  B．15C．16  D．17解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意分析知d>0，因为a3，a4＋，a11成等比数列，所以2＝a3a11，即2＝(1＋2d)·(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0，所以d＝，所以an＝.所以ap－aq＝(p－q)＝15.答案：B4．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为(　　)A．0  B．－9C．9  D．1解析：由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.答案：C5．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)A．n(n＋1)  B．n(n－1)C.  D.解析：因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋×2＝n(n＋1)．故选A.答案：A6．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.解析：因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.答案：647．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－28．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.答案：3n－19．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.解析：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可知，an＝qn－1.所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝ .由e2＝ ＝2解得q＝.所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．10．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求＋＋…＋.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有，解得，或 (舍去)．故an＝n，bn＝2n－1.(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)，∴＝＝2(－)，∴＋＋…＋＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝. B组　能力提升练1．设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝(　　)A．0  B．7C．14  D．21解析：∵f(x)＝(x－3)3＋x－1＝(x－3)3＋(x－3)＋2，而y＝x3＋x是单调递增的奇函数，∴f(x)＝(x－3)3＋(x－3)＋2是关于点(3,2)成中心对称的增函数．又∵{an}是等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14＝7×2，∴f(a4)＝2，即(a4－3)3＋(a4－3)＋2＝2，∴a4＝3，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝21.答案：D2．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝(　　)A．2  B．3C．5  D．7解析：∵等差数列{an}中，a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，∴＝＝3.故选B.答案：B3．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)A．18个  B．16个C．14个  D．12个解析：由题意可得a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．答案：C4．5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为(　　)A．－  B．－2C．－  D．－解析：由题意可设这5个数分别为a，－2a,4a，－8a,16a，故奇数项和与偶数项和的比值为＝－，故选C.答案：C5．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于__________．解析：依题意有a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，则a＋b＝p，ab＝q，由p＞0，q>0可知a＞0，b＞0.由题意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或b－2＝2a，将a－2＝2b代入ab＝4可解得a＝4，b＝1，此时a＋b＝5，将b－2＝2a代入ab＝4可解得a＝1，b＝4，此时a＋b＝5，则p＝5，故p＋q＝9.答案：96．已知an＝3n(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是__________．解析：Tn＝＝－＋，所以Tn＋＝，则原不等式可以转化为k≥＝恒成立，令f(n)＝，当n＝1时，f(n)＝－，当n＝2时，f(n)＝0，当n＝3时，f(n)＝，当n＝4时，f(n)＝，即f(n)是先增后减，当n＝3时，取得最大值，所以k≥.答案：k≥7．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．解析：(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．依题意，得{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．所以{an}的前n项和 Sn＝＝256，{bn}的前n项和Tn＝400n＋a.所以经过n年，该市被更换的公交车总数为S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a.(2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10 000，所以256＋400×7＋a≥10 000，即21a≥3 082，所以a≥146.又a∈N*，所以a的最小值为147.8．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数f(x)＝x2＋x的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，不等式Tn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)∵点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋x的图象上，∴Sn＝n2＋n.当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，两式相减得an＝n.当n＝1时，a1＝S1＝＋＝1，符合上式，∴an＝n(n∈N*)．(2)由(1)得＝＝，∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＝＝－.∵Tn＋1－Tn＝>0，∴数列{Tn}单调递增，∴{Tn}中的最小项为T1＝.要使不等式Tn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要>loga(1－a)，即loga(1－a)<logaa.∵1－a>0，a>0，∴0<a<1，∴1－a>a，∴0<a<，即实数a的取值范围为.