2021-2022学年重庆实验学校九年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年重庆实验学校九年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）2022的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．2022 D．﹣2022
2．（4分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（　　）
A．了解某品牌电脑的使用寿命
B．了解“月兔二号”月球车零部件的状况
C．了解我市中学生课外阅读时间情况的调查
D．了解公民的环保意识
4．（4分）如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA1＝：2，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为（　　）

A． B．3：4 C．3：2 D．9：4
5．（4分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（　　）

A．BD＝CE B．BE＝CD C．∠B＝∠C D．∠ADC＝∠AEB
7．（4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝58°，则∠APB等于（　　）

A．54° B．58° C．64° D．68°
8．（4分）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
9．（4分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．两人前行过程中的速度为180米/分
B．m的值是15，n的值是2700
C．爸爸返回时的速度为90米/分
D．运动18分钟或31分钟时，两人相距810米
11．（4分）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不大于4，则满足条件的所有整数a的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（4分）如图，矩形ABCD中，，点E为BC边的中点，点F在边AD上，将四边形ECDF沿着EF翻折得到四边形EC1D1F，EC1交AD于点H，若C1H：HE＝1：3且D1C1的延长线恰好经过点A，则折痕EF的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算：2﹣2﹣（3.14﹣π）0＝　 　．
14．（4分）在一个不透明口袋中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余全部相同，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率是 　 　．
15．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点D为圆心、AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2﹣S1的值为 　 　．

16．（4分）随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部卖完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的．则精品羊肉的单价最低为 　 　元．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
17．（8分）计算
（1）（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）；
（2）．
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．
（1）尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；
（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）为了纪念中国人民志愿军抗美援朝71周年，近两年涌现了很多相关题材的电影作品，《长津湖》和《金刚川》正是其中优秀的代表．为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校观看过这两部电影的学生中各随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评分（满分10分），并通过整理和分析，给出了部分信息．
《长津湖》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：

平均数
众数
中位数
《长津湖》
8.5
9
b
《金刚川》
7.9
c
8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校观看过这两部作品的学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校有2000名学生观看过这两部影片，若他们都对这两部作品进行评分，你认为这两部作品一共可得到多少个满分？

20．（10分）如图，在平面直角坐标系内，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象分别与x轴，y轴交于C、D两点；与反比例函数y2＝（k≠0）的图象分别交于A、B两点，过点A（﹣3，﹣1）作x轴的垂线，垂足为点E且sin∠ACE＝．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）直接写出不等式y1≤y2的解集．

21．（10分）为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成26000平方米的绿化任务，某施工队在按计划施工7天后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果再花4天刚好完成该项绿化工程．
（1）该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
（2）如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆，若此时花圃的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽．

22．（10分）如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．
（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）
参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）

23．（10分）若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大3．百位数字比个位数字大3，我们称这个数为“多多数”．将一个“多多数”m各个数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数m′，记F（m）＝．
例如：m＝4512，∴m′＝2154，则F（4512）＝＝2．
（1）判断7643和4631是否为“多多数”？请说明理由；
（2）若A为一个能被13整除的“多多数”，且F（A）≥0，求满足条件的“多多数”A．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线交于另一点E（4，m），点G为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式；
（2）如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当四边形OCPF的面积最大时，求点P的坐标以及四边形OCPF面积的最大值．
（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线DC平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点M．在新抛物线y′上是否存在点N，使得△MGN是以MG为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


25．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠CBA＝90°．以斜边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，点E为CD边中点，连接AE．
（1）如图1，当A、B、D三点共线时，若AE与BC相交于点F，求证：BF＝BD．
（2）如图2，射线BM是∠ABC的外角∠CBG的角平分线，当点D恰好落在射线BM上时，请求出∠CAE的度数．
（3）如图3，连接BD，以BD为斜边作Rt△BQD，连接EQ，若AC＝8，请直接写出线段EQ的最大值．



2021-2022学年重庆实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）2022的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．2022 D．﹣2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是，
故选：B．
2．（4分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（　　）
A．了解某品牌电脑的使用寿命
B．了解“月兔二号”月球车零部件的状况
C．了解我市中学生课外阅读时间情况的调查
D．了解公民的环保意识
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．了解某品牌电脑的使用寿命适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．了解“月兔二号”月球车零部件的状况适合全面调查（普查），故本选项符合题意；
C．了解我市中学生课外阅读时间情况的调查适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．了解公民的环保意识适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
4．（4分）如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA1＝：2，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为（　　）

A． B．3：4 C．3：2 D．9：4
【分析】根据题意求出四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的位似比，根据位似图形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA1＝：2，
∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的位似比为：2，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比3：4，
故选：B．
5．（4分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．＝3，此选项错误；
D．，此选项正确；
故选：D．
6．（4分）如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（　　）

A．BD＝CE B．BE＝CD C．∠B＝∠C D．∠ADC＝∠AEB
【分析】已知条件AB＝AC，还有公共角∠A，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：A、添加BD＝CE可得AD＝AE，可利用利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加BE＝CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；
C、添加∠B＝∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加∠ADC＝∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
故选：B．
7．（4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝58°，则∠APB等于（　　）

A．54° B．58° C．64° D．68°
【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据四边形的内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
由圆周角定理：∠AOB＝2∠ACB＝2×58°＝116°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣116°＝64°，
故选：C．

8．（4分）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】设这个多边形的边数是n，根据多边形的外角和是它内角和的，结合多边形的内角和和外角和定理得到方程，从而求出边数．
【解答】解：根据题意可得：
（n−2）•180°＝360°，
解得：n＝5．
经检验n＝5符合题意，
所以这个多边形是五边形．
故选：C．
9．（4分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
10．（4分）东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．两人前行过程中的速度为180米/分
B．m的值是15，n的值是2700
C．爸爸返回时的速度为90米/分
D．运动18分钟或31分钟时，两人相距810米
【分析】根据题意和图象中的数据可以判断各选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
两人前行过程中的速度为3600÷20＝200（米/分），故选项A不合题意；
m的值是20﹣5＝15，n的值是180×15＝2700，故选项B不合题意；
爸爸返回时的速度为：2700÷（45﹣15）＝90（米/分），故选项C不合题意；
东东开始返回时与爸爸相距：3600﹣2700+90×5＝1350（米），
运动18分钟时两人相距：180×（18﹣15）+90×（18﹣15）＝810（米），
东东返回时的速度为：3600÷（45﹣20）＝150（米/分），
则运动31分钟时，两人相距：1350﹣（150﹣90）×（30﹣20）＝750（米），故选项D符合题意，
故选：D．
11．（4分）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不大于4，则满足条件的所有整数a的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先解一元一次不等式组得a≤4，再解分式方程得y＝2﹣2a，由题意可知2﹣2a≤4，2﹣2a≠2，2﹣2a≠﹣2，则可求a的取值范围为a≥﹣1且a≠0，a≠2，最后即可求满足条件的a的值．
【解答】解：，
由①得，x≤5a﹣6，
由②得，x＞2a+6，
∵不等式组无解，
∴5a﹣6≤2a+6，
∴a≤4，
，
（y+a）（y﹣2）﹣a（y+2）＝（y+2）（y﹣2），
y2﹣2y+ay﹣2a﹣ay﹣2a＝y2﹣4，
y＝2﹣2a，
∵方程的解不大于4，
∴2﹣2a≤4，
∴a≥﹣1，
∵y≠2，y≠﹣2，
∴2﹣2a≠2，2﹣2a≠﹣2，
∴a≠0，a≠2，
∴a≥﹣1且a≠0，a≠2，
∴满足条件的整数a有﹣1，1，3，4，
∴满足条件的所有整数a的个数为4，
故选：B．
12．（4分）如图，矩形ABCD中，，点E为BC边的中点，点F在边AD上，将四边形ECDF沿着EF翻折得到四边形EC1D1F，EC1交AD于点H，若C1H：HE＝1：3且D1C1的延长线恰好经过点A，则折痕EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过E作EG⊥AD于G，则四边形ABEG是矩形，设C1H＝a（a＞0），AH＝x（x＞a），依据△AHC1∽△EHG，即可得到AH＝3a，再根据Rt△EHG中，HG2+EG2＝HE2，即可得到HG＝，HE＝3，最后Rt△EFG中，利用勾股定理即可得到EF的长．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥AD于G，则四边形ABEG是矩形，
设C1H＝a（a＞0），则EH＝3a，C1H＝4a＝BE＝AG，
设AH＝x（x＞a），则HG＝4a﹣x，
∵∠AC1H＝∠EGH＝90°，∠AHC1＝∠EHG，
∴△AHC1∽△EHG，
∴，即，
解得x1＝3a或x2＝a（舍去），
∴AH＝3a，HG＝4a﹣3a＝a，
Rt△EHG中，HG2+EG2＝HE2，
∴a2+（4）2＝（3a）2，
解得a＝，
∴HG＝，HE＝3，
由题可得，∠CEF＝∠HEF，∠CEF＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HF＝HE＝3，GF＝2，
Rt△EFG中，EF＝＝＝，
故选：A．

二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算：2﹣2﹣（3.14﹣π）0＝　﹣　．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1
＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（4分）在一个不透明口袋中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余全部相同，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和为奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和为奇数的结果有8种，
∴两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率为＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点D为圆心、AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2﹣S1的值为 　6π﹣16　．

【分析】根据图形得到S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
＝+π×22﹣42
＝4π+2π﹣16
＝6π﹣16，
故答案为：6π﹣16．
16．（4分）随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部卖完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的．则精品羊肉的单价最低为 　33.5　元．
【分析】设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，则第二批羊腿重量为y斤，根据题意，得3x+y＝（6x+y），求得y＝12x，从而求得第二批羊排重量为6x斤，精肉重量为4x斤，总成本为50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x），设羊排价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），根据题意，得[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），m≤（64+n），求n的最小值即可．
【解答】解：设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，羊排重量为a斤，则第二批羊腿重量为y斤，
根据题意，得3x+y＝（6x+y），
解得y＝12x，
∵羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5，
∴（2x+a）：（x+12x﹣2x﹣a）＝8：5，
解得a＝6x，
∴精肉重量为4x斤，
∴总成本为[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]元，
设羊排价格为m元，精肉价格为n元，
则总利润为[14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x）]元，
根据题意，得：
[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），
解得m+n＝86，
∵羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，
∴m≤（64+n），
解得n≥33.5，
∴n的最小值为33.5．
故答案为：33.5．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
17．（8分）计算
（1）（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式，平方差公式进行运算，最后合并同类项即可；
（2）把分母进行分解，把除法转化为乘法，再算乘法，最后算减法即可．
【解答】解：（1）（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝a2+4ab+4b2﹣（a2﹣b2）
＝a2+4ab+4b2﹣a2+b2
＝4ab+5b2；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝﹣．
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．
（1）尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；
（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．

【分析】（1）理由基本作图作AC的垂直平分线即可；
（2）先根据线段的垂直平分线的性质得到AG＝CG，再根据平行四边形的性质得到AD∥BC，所以∠EAG＝∠FCG，则可判断△AGE≌△CGF，所以EG＝FG，然后利用AC与EF互相垂直平分可判断四边形AFCE为菱形．
【解答】解：（1）如图，EF为所作；

（2）四边形AFCE为菱形．
理由如下：∵EF垂直平分AC，
∴AG＝CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAG＝∠FCG，
在△AGE和△CGF中，
，
∴△AGE≌△CGF（ASA），
∴EG＝FG，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AFCE为菱形．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）为了纪念中国人民志愿军抗美援朝71周年，近两年涌现了很多相关题材的电影作品，《长津湖》和《金刚川》正是其中优秀的代表．为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校观看过这两部电影的学生中各随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评分（满分10分），并通过整理和分析，给出了部分信息．
《长津湖》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：

平均数
众数
中位数
《长津湖》
8.5
9
b
《金刚川》
7.9
c
8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校观看过这两部作品的学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校有2000名学生观看过这两部影片，若他们都对这两部作品进行评分，你认为这两部作品一共可得到多少个满分？

【分析】（1）根据《金刚川》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确定a的值，根据中位数、众数的意义可求出b、c的值，
（2）通过平均数、中位数、众数的比较得出答案；
（3）求出两部作品满分人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）《金刚川》调查得分为“10分”所占的百分比为：1﹣10%﹣20%﹣20%﹣＝15%，即a＝15，
《长津湖》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝8.5，因此中位数是8.5，即b＝8.5，
《金刚川》调查得分出现次数最多的是8分，共出现7次，因此众数是8，即c＝8，
答：a＝15，b＝8.5，c＝8；
（2）《长津湖》，理由为：《长津湖》调查得分的平均数、中位数、众数均比《金刚川》高；
（3）2000×（+15%）＝700（人），
答：这两部作品一共可得到700个满分．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系内，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象分别与x轴，y轴交于C、D两点；与反比例函数y2＝（k≠0）的图象分别交于A、B两点，过点A（﹣3，﹣1）作x轴的垂线，垂足为点E且sin∠ACE＝．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）直接写出不等式y1≤y2的解集．

【分析】（1）由题意可知a＝1，把A的坐标分别代入y1＝x+b和y2＝，即可求得b、k的值，从而求得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据图象即可求得不等式y1≤y2的解集．
【解答】解：（1）∵sin∠ACE＝，
∴∠ACE＝45°，
∴a＝1，
把点A（﹣3，﹣1）代入y1＝x+b得，﹣1＝﹣3+b，
∴b＝2，
∴y1＝x+2，
∵反比例函数y2＝（k≠0）的图象过A点，
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴y2＝；
（2）由解得或，
∴B（1，3），
由图象可知，不等式y1≤y2的解集为x≤﹣3或0＜x≤1．
21．（10分）为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成26000平方米的绿化任务，某施工队在按计划施工7天后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果再花4天刚好完成该项绿化工程．
（1）该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？
（2）如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆，若此时花圃的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽．

【分析】（1）设该项绿化工程原计划每天完成x平方米，则7天后每天完成1.5x平方米，根据每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果再花4天完成了该项绿化工程，进而得出等式求出答案；
（2）利用矩形花圃地，它们的面积之和为72平方米，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x平方米，则7天后每天完成1.5x平方米，
根据题意得：，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，
答：该绿化工程原计划每天完成2000平方米的绿化任务；

（2）设花圃的宽度为AB＝x米，则BC＝28+2﹣3x＝（30﹣3x）米，
根据题意，得（30﹣3x）x＝72，
解得：x1＝4，x2＝6．
∵当x＝4时，30﹣3x＝18＞16，
∴不符合题意，舍去．
∴宽为6米，长为12米．
答：花圃的长为12米，宽为6米．
22．（10分）如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．
（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）
参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）

【分析】过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，得矩形CGHE，根据锐角三角函数即可求出居民楼EF的高度．
【解答】解：如图，过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，
得矩形CGHE，
∴CE＝GH，CG＝EH，
在Rt△BCG中，BC＝25米，CG：BG＝3：4，
∴CG＝EH＝15米，BG＝20米，

在Rt△AFH中，AH＝AB+BC+GH＝30+20+GH＝50+CE，
∵∠FAG＝27°，
∴FH＝AH•tan27°，
∴EF+15≈（50+CE）×0.51，
在Rt△FCE中，
∵∠FCE＝54°，
∴EF＝CE×tan54°≈1.38CE，
∴1.38CE+15≈（50+CE）×0.51，
解得CE＝，
∴EF≈1.38CE≈16.7（米），
∴居民楼EF的高度约为16.7米．
23．（10分）若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大3．百位数字比个位数字大3，我们称这个数为“多多数”．将一个“多多数”m各个数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数m′，记F（m）＝．
例如：m＝4512，∴m′＝2154，则F（4512）＝＝2．
（1）判断7643和4631是否为“多多数”？请说明理由；
（2）若A为一个能被13整除的“多多数”，且F（A）≥0，求满足条件的“多多数”A．
【分析】（1）根据“多多数”的定义，即可判断；
（2）设A的个位数字为x，则百位数字为x+3，设B的十位数字为y，则千位数字为y+3，根据新定义，分别表示出F（A），根据A为一个能被13整除的“多多数”，且F（A）≥0，列出关系式，进而求解．
【解答】解：（1）在7643中，7﹣4＝3，6﹣3＝3，
∴7643是“多多数”，
在4631中，4﹣3＝1，6﹣1＝5，
∴4631不是“多多数”；
（2）设A的个位数字为x，则百位数字为x+3，设B的十位数字为y，则千位数字为y+3，
则A＝1000（y+3）+100（x+3）+10y+x＝1010y+101x+3300，
A′＝1000x+100y+10（x+3）+y+3＝1010x+101y+33，
∴A﹣A′＝1010y+101x+3300﹣（1010x+101y+33）＝909y﹣909x+3267，
∴F（A）＝＝y﹣x+3≥0，
∴y≥x﹣3，
∴，
解得，
∵x，y为整数，A为一个能被13整除的“多多数”，
∴A＝1010y+101x+3300＝13（77y+7x+253）+9y+10x+11，
当x＝1时，9y+10x+11＝9y+21，满足条件的只有y＝2；
同理，当x＝2时，9y+10x+11＝9y+31，没有满足条件的y；
当x＝3时，9y+10x+11＝9y+41，没有满足条件的y；
当x＝4时，9y+10x+11＝9y+51，满足条件的只有y＝3；
当x＝5时，9y+10x+11＝9y+61，没有满足条件的y；
当x＝6时，9y+10x+11＝9y+71，没有满足条件的y．
综上所述，满足条件的“多多数”A为5421或6734．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线交于另一点E（4，m），点G为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式；
（2）如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当四边形OCPF的面积最大时，求点P的坐标以及四边形OCPF面积的最大值．
（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线DC平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点M．在新抛物线y′上是否存在点N，使得△MGN是以MG为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线，即可求出抛物线解析式，把x＝4代入解析式可求出m，设直线CE的解析式为y＝kx+b，把点C和点E的坐标代入即可；
（2）设点P的横坐标为t，可表达点P的坐标，过点P作PH∥y轴交CE于点H，可表达△OCF和△PCF的面积，再表达式四边形OCPF的面积，根据二次函数最值问题可求解；
（3）先求出直线CD的解析式，反向延长射线DC与抛物线的另一个交点记为点Q，求出点Q的坐标，根据点Q到点D的运动，可求出抛物线y′的顶点G的坐标，再进行分类讨论：当点M为直角顶点时，当点G为直角顶点时两种情况，进行求解即可．
【解答】解：（1）把点代入抛物线中，得c＝，
则抛物线的解析式为：x+，
当x＝4时，y＝﹣×4+＝﹣，
∴点E的坐标为：（4，﹣），
设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
则，解得，
∴直线CE的解析式为：y＝﹣x+；
（2）有（1）知直线CE的解析式：y＝﹣x+，
令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝1.5，
∴点F的坐标为（1.5，0），
过点P作PH∥y轴交CE于点H，

设点P的横坐标为t，则P（t，t+），H（t，﹣t+），
∴PH＝t+﹣（﹣t+）＝t，
∴S△OCF＝•OC•OF＝＝，
S△CPF＝•PH•（xF﹣xC）＝•（t）•（1.5﹣0）＝﹣t2+t，
∴S四边形OCPF＝S△OCF+S△CPF＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，S四边形OCPF取得最大值，
此时点P（2，）．
即当点P（2，）时，S四边形OCPF取得最大值；
（3）存在，理由如下：
如图，反向延长射线DC与抛物线的另一个交点记为点Q，

∵x+＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，顶点G（1，），
设直线CD的解析式为：y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣+，
令＝﹣+＝x+，解得x＝0，或x＝5，
∴点Q的坐标为（5，﹣4），
∵抛物线沿射线DC平移得到新抛物线y′，y′经过点D，
即点Q（5，﹣4）平移到点D（1，0），点G（1，）平移到点M，
∴点M（﹣3，），
∴抛物线y′的解析式为：y＝﹣（x+3）2+，
直线MG的表达式为：y＝﹣（x+3）+＝﹣+，
①当点M是直角顶点，如图所示，过点M作l⊥MG，
则l的表达式为：y＝（x+3）+，
令（x+3）+＝﹣（x+3）2+，解得x＝﹣3（舍）或x＝﹣4，
∴此时点N的坐标为（﹣4，5）；
②当点G是直角顶点，如图所示，过点G作m⊥MG，
则m的表达式为：y＝（x﹣1）+，
令（x﹣1）+＝﹣（x+3）2+，解得x＝或x＝，
∴此时点N的坐标为：（，﹣+）或（，﹣﹣）．
综上，存在，点N的坐标为：（﹣4，5）或（，﹣+）或（，﹣﹣）．
25．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠CBA＝90°．以斜边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，点E为CD边中点，连接AE．
（1）如图1，当A、B、D三点共线时，若AE与BC相交于点F，求证：BF＝BD．
（2）如图2，射线BM是∠ABC的外角∠CBG的角平分线，当点D恰好落在射线BM上时，请求出∠CAE的度数．
（3）如图3，连接BD，以BD为斜边作Rt△BQD，连接EQ，若AC＝8，请直接写出线段EQ的最大值．


【分析】（1）证明△ABF≌△CBD（AAS），即可证明BF＝BD；
（2）过点D作DP⊥AC于P，过点B作BQ⊥AC于Q，则BQ//DP，BM//AC，证明四边形PQBD是矩形，可得∠CAD＝30°，所以∠CAE＝∠CAD＝15°；
（3）点Q在以BD为直径的⊙O上，连接EO并延长交⊙O于S，则ES即为EQ的最大值，可证得EO//BC，所以ES＝EO+OS＝4+BD，当BD最大时，ES最大：当点D在BA的延长线上时，BD最大，BD的最大值为BD＝AB+AD＝AB+AC＝8+8，可得ES＝EO+OS＝8+4．
【解答】（1）证明：当A、B、D三点共线时，
∵AC＝AD，点E为CD边中点，
∴AE⊥CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝90°，
∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBD＝90°，
又∵∠DAE+∠D＝90°，∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D，
在△ABF和△CBD中，
，
∴△ABF≌△CBD（AAS），
∴BF＝BD；
（2）解：如图2，过点D作DP⊥AC于P，过点B作BQ⊥AC于Q，则BQ//DP，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝90°，
∴AB＝CB，∠BAC＝45°，∠CBG＝90°，
∵BQ⊥AC，
∴BQ＝AC，
∵BM平分∠CBG，
∴∠MBG＝∠CBG＝×90°＝45°，
∴∠MBG＝∠BAC＝45°，
∴BM∥AC，
又∵BQ∥DP，∠PQB＝90°，
∴四边形PQBD是矩形，
∴DP＝BQ，
∴DP＝AC，
又∵AC＝AD，
∴DP＝AD，
∴∠CAD＝30°，
又∵AC＝AD，E为CD的中点，
∴∠CAE＝∠CAD＝30°＝15°；
（3）解：如图3，∠BQD＝90°，
∴点Q在以BD为直径的⊙O上，连接EO并延长交⊙O于S，则ES即为EQ的最大值，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝90°，AC＝8，
∴AB＝CB＝AC＝×8＝8，
∵E为CD的中点，O为BD的中点，
∴EO∥BC，
∴EO＝BC＝8＝4，OS＝BD，
∴ES＝EO+OS＝4+BD，
∴当BD最大时，ES最大：
∵AC＝AD，
∴当点D在BA的延长线上时，BD最大，如图4，
∴BD的最大值为BD＝AB+AD＝AB+AC＝8+8，
∴ES＝EO+OS＝4×（8+8）＝8+4，
综上所述，EQ的最大值为8+4．