2021-2022学年河南省洛阳市七年级（上）期末数学试卷 word，解析版

这是一份2021-2022学年河南省洛阳市七年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省洛阳市七年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（　　）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
2．（3分）为了“决战脱贫攻坚决胜全面小康”，5年来河南省贫困地区交通基础设施累计完成投资1415.4亿元，其中1415.4亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.4154×103 B．1.4154×108
C．1.4154×1011 D．1.4154×1012
3．（3分）下列各式中，相等的是（　　）
A．23和32 B．﹣（﹣2）和﹣|﹣2| C．（﹣2）3和|﹣2|3 D．（﹣3）3和﹣33
4．（3分）如图是一个正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒相对两个面上的数相等．则a、b、c的值分别是（　　）

A．a＝﹣2，b＝﹣1，c＝3 B．a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3
5．（3分）下列变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则3+a＝3+b B．若a＝b，则ac＝bc
C．若ac＝bc（c≠0），则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b
6．（3分）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．两直线相交只有一个交点
D．经过一点有无数条直线
7．（3分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？“其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍．问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第二天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
8．（3分）在2022年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上或者横行上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（　　）
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A．72 B．60 C．51 D．40
9．（3分）如图，线段AB＝24cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度是（　　）

A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
10．（3分）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　）

A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km
二、填空题：（每题3分，共15分）
11．（3分）绝对值是2021的有理数是 　 　．
12．（3分）若单项式﹣3amb4是7次单项式，则m＝　 　．
13．（3分）某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为　 　元．
14．（3分）已知∠α的补角的度数为125°12'，则∠α的余角的度数是 　 　．
15．（3分）规定计算机按如图所示程序工作，如果输出的数是125，那么输入的自然数是 　 　．

三、解答题：（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣24﹣（﹣1）2021﹣|﹣9|；
（2）﹣8×（﹣）2+（﹣）÷（﹣）．
17．（9分）作图题：（截取用圆规，并保留痕迹）
如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图：
①画直线BC；
②画射线AD交直线BC于点E；
③连接BD，用圆规在线段BD的延长线上截取DF＝BD；
④在图中确定点O，使点O到点A，B，C，D的距离之和最小．

18．（9分）先化简，再求值：5a2b﹣[3a2b﹣2（3abc﹣a2b）+4abc]，其中a＝，b＝﹣2，c＝﹣3．
19．（9分）某电脑组装公司计划每天组装200台电脑，由于工作人员轮休等原因，实际每天组装量与计划组装量有所差异．下表反映的是上周每天实际组装数量（超产的台数为正数，减产的台数为负数）：
星期
一
二
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五
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增减（单位：台）
+7
﹣2
﹣6
+14
﹣11
+15
﹣8
（1）该车间星期三组装电脑 　 　台；
（2）请求出该公司上周实际组装电脑的数量；
（3）该公司实行“每日计件工资制”，每组装一台电脑可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每台在60元基础上另奖15元；少组装一台则倒扣20元，那么该公司工人这一周的工资总额是多少元？
20．（9分）如果关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解与方程的解相同，求字母a的值．
21．（10分）列方程解应用题：
某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一条裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（x＞30）：
（1）按方案一、购买裤子和T恤共需付款 　 　元（用含x的式子表示）；
按方案二，购买裤子和T恤共需付款 　 　元（用含x的式子表示）；
（2）计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请直接写出该购买方案下共需付款数目．
22．（10分）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则AB＝|2﹣3|＝1．
问题提出：
（1）填空：如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离AB＝　 　线段AB的中点表示的数为 　 　．
拓展探究：
（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0），
①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　；
②求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
类比延伸：
（3）在（2）的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．

23．（11分）点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，射线OE平分△BOC．

（1）如图①，如果∠AOC＝48°，依题意补全图形，求∠DOE度数；
（2）将OD绕点O顺时针旋转一定的角度得到图②，使得OC在直线AB的上方，若∠AOC＝α，其他条件不变，依题意补全图形，并求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将OD绕点O继续顺时针旋转一周，回到图①的位置．在旋转过程中，你发现∠AOC与∠DOE（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠DOE＜180°）之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现．


2021-2022学年河南省洛阳市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（　　）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣0.5的相反数是0.5，
故选：A．
2．（3分）为了“决战脱贫攻坚决胜全面小康”，5年来河南省贫困地区交通基础设施累计完成投资1415.4亿元，其中1415.4亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.4154×103 B．1.4154×108
C．1.4154×1011 D．1.4154×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1415.4亿＝141540000000＝1.4154×1011．
故选：C．
3．（3分）下列各式中，相等的是（　　）
A．23和32 B．﹣（﹣2）和﹣|﹣2| C．（﹣2）3和|﹣2|3 D．（﹣3）3和﹣33
【分析】依据有理数的乘方法则进行计算，即可得到正确选项．
【解答】解：A.23＝8，32＝9，故不合题意；
B．﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，故不合题意；
C．（﹣2）3＝﹣8，|﹣2|3＝8，故不合题意；
D．（﹣3）3＝﹣33＝﹣27，符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图是一个正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒相对两个面上的数相等．则a、b、c的值分别是（　　）

A．a＝﹣2，b＝﹣1，c＝3 B．a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3
【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．
【解答】解：由题意得：
a与﹣1相对，c与﹣2相对，b与3相对，
∵纸盒相对两个面上的数相等，
∴a＝﹣1，c＝﹣2，b＝3，
故选：B．
5．（3分）下列变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则3+a＝3+b B．若a＝b，则ac＝bc
C．若ac＝bc（c≠0），则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．若a＝b，则3+a＝3+b，故本选项不符合题意；
B．若a＝b，则ac＝bc，故本选项不符合题意；
C．若ac＝bc，当c≠0时，a＝b，故本选项符合题意；
D．若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．两直线相交只有一个交点
D．经过一点有无数条直线
【分析】利用线段的性质解答即可．
【解答】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短，
故选：A．
7．（3分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？“其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍．问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第二天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
【分析】设他第二天读x个字，根据题意可得第一天读了x个字，第三天读了2x个字，再由条件“共有34685个字”列出方程即可．
【解答】解：他第二天读x个字，根据题意可得：
x+x+2x＝34685，
故选：C．
8．（3分）在2022年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上或者横行上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（　　）
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A．72 B．60 C．51 D．40
【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数；一横行上相邻的三个数的关系是：左面的数总是比右面的数小1．可设中间的数是x，则左面的数是x﹣1，右面的数是x+1．则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数．
【解答】解：①框出表中竖列上相邻的三个数，
设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．
则这三个数的和是（x﹣7）+x+（x+7）＝3x，
当3x＝72时，x＝24，这三个数分别是17、24、31，故不符合题意；
当3x＝60时，x＝20，这三个数分别是13、20、27，故不符合题意；
当3x＝51时，x＝17，这三个数分别是10、17、24，故不符合题意；
当3x＝40时，x不是正整数，故符合题意；
②框出表中横行上相邻的三个数，
设中间的数是x，则左面的数是x﹣1，右面的数是x+1．
则这三个数的和是（x﹣1）+x+（x+1）＝3x，
因而这三个数的和一定是3的倍数．．
当3x＝72时，x＝24，这三个数分别是23、24、25，故不符合题意；
当3x＝60时，x＝20，这三个数分别是13、20、27，故不符合题意；
当3x＝51时，x＝17，这三个数分别是16、17、18，故不符合题意；
当3x＝40时，x不是正整数，故符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，线段AB＝24cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度是（　　）

A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
【分析】根据AB＝24cm，C为AB的中点，可计算出AC＝BC的长度，根据AD：CB＝1：3，可得AD＝CB，即可计算出CD的长度，再根据DB＝CD+CB计算即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝24cm，C为AB的中点，
∴＝＝12（cm），
∵AD：CB＝1：3，
∴AD＝CB＝＝4（cm），
∴CD＝AC﹣AD＝12﹣4＝8（cm），
∴DB＝CD+CB＝8+12＝20（cm）．
故选：D．
10．（3分）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　）

A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km
【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
一汽车在A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n﹣1）＝（12n﹣7）km，
故选：C．
二、填空题：（每题3分，共15分）
11．（3分）绝对值是2021的有理数是 　±2021　．
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：绝对值是2021的有理数是±2021．
故答案为：±2021．
12．（3分）若单项式﹣3amb4是7次单项式，则m＝　3　．
【分析】根据单项式的定义判断即可．
【解答】解：由题意得：
m+4＝7，
∴m＝3，
故答案为：3．
13．（3分）某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为　4　元．
【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润＝售价列出方程，求解即可．
【解答】解：设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得
80+x＝120×0.7，
解得x＝4．
答：该商品每件销售利润为4元．
故答案为4．
14．（3分）已知∠α的补角的度数为125°12'，则∠α的余角的度数是 　35°12′　．
【分析】由补角的定义可得出∠α的度数，再根据余角的定义，用90°﹣∠α的度数即可．
【解答】解：∵180°﹣125°12'＝54°48′，
∴90°﹣54°48′＝35°12′．
故答案为：35°12′．
15．（3分）规定计算机按如图所示程序工作，如果输出的数是125，那么输入的自然数是 　11或30　．

【分析】根据程序图列式计算．
【解答】解：当输出的数为125时，
125÷5+5＝25+5＝30，
30÷5+5＝6+5＝11，
11不能被5整除，
∴输入的自然数是11或30，
故答案为：11或30．
三、解答题：（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣24﹣（﹣1）2021﹣|﹣9|；
（2）﹣8×（﹣）2+（﹣）÷（﹣）．
【分析】（1）原式先算乘方及绝对值，再算加减即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再算乘法，最后算加减即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣16﹣（﹣1）﹣9
＝﹣16+1﹣9
＝﹣15﹣9
＝﹣24；
（2）原式＝﹣8×+（﹣）×（﹣24）
＝﹣2+×（﹣24）﹣×（﹣24）
＝﹣2﹣16+15
＝﹣3．
17．（9分）作图题：（截取用圆规，并保留痕迹）
如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图：
①画直线BC；
②画射线AD交直线BC于点E；
③连接BD，用圆规在线段BD的延长线上截取DF＝BD；
④在图中确定点O，使点O到点A，B，C，D的距离之和最小．

【分析】①根据直线定义即可画直线BC；
②根据射线定义即可画射线AD交直线BC于点E；
③根据线段定义连接BD，用圆规在线段BD的延长线上截取DF＝BD即可；
④根据两点之间线段最短即可在图中确定点O，使点O到点A，B，C，D的距离之和最小．
【解答】解：①如图，直线BC即为所求；
②如图，射线AD，点E即为所求；

③如图，线段BD，线段DF即为所求；
④如图，点O即为所求．
18．（9分）先化简，再求值：5a2b﹣[3a2b﹣2（3abc﹣a2b）+4abc]，其中a＝，b＝﹣2，c＝﹣3．
【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
【解答】解：原式＝5a2b﹣（3a2b﹣6abc+2a2b+4abc）
＝5a2b﹣3a2b+6abc﹣2a2b﹣4abc
＝2abc，
当a＝，b＝﹣2，c＝﹣3时，
原式＝2××（﹣2）×（﹣3）
＝2×××3
＝8．
19．（9分）某电脑组装公司计划每天组装200台电脑，由于工作人员轮休等原因，实际每天组装量与计划组装量有所差异．下表反映的是上周每天实际组装数量（超产的台数为正数，减产的台数为负数）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减（单位：台）
+7
﹣2
﹣6
+14
﹣11
+15
﹣8
（1）该车间星期三组装电脑 　194　台；
（2）请求出该公司上周实际组装电脑的数量；
（3）该公司实行“每日计件工资制”，每组装一台电脑可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每台在60元基础上另奖15元；少组装一台则倒扣20元，那么该公司工人这一周的工资总额是多少元？
【分析】（1）根据星期三实际每天生产量比计划量少6台，可得结论；
（2）根据每天组装200台电脑，超产记为正、减产记为负，即可解题；
（3）根据这一周的生产量情况即可解题．
【解答】解：（1）200﹣6＝194（台）．
该车间星期三组装电脑194台；
故答案为：194；
（2）200×7+（7﹣2﹣6+14﹣11+15﹣8）
＝1400+9
＝1409（台），
答：该公司上周实际组装电脑1409台；
（3）1409×60+（7+14+15）×15﹣（2+6+11+8）×20
＝84540+540﹣540
＝84540（元），
答：该公司工人这一周的工资总额是84540元．
20．（9分）如果关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解与方程的解相同，求字母a的值．
【分析】分别求解两个方程，再由同解方程可得﹣a＝10，即可求a的值．
【解答】解：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1，
4x﹣3a﹣1＝6x+2a﹣1，
﹣2x＝5a，
x＝﹣a，
，
2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2），
2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，
5x＝50，
x＝10，
∵两个方程的解相同，
∴﹣a＝10，
∴a＝﹣4．
21．（10分）列方程解应用题：
某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一条裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（x＞30）：
（1）按方案一、购买裤子和T恤共需付款 　（50x+1500）　元（用含x的式子表示）；
按方案二，购买裤子和T恤共需付款 　（40x+2400）　元（用含x的式子表示）；
（2）计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请直接写出该购买方案下共需付款数目．
【分析】（1）根据已知，分方案一、方案二分别列出代数式即可；
（2）根据（1）中的代数式列方程，即可解得答案；
（3）用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，即可得到共需付款数目．
【解答】解：（1）购买裤子30件，T恤x件，按方案一共需付款100×30+50（x﹣30）＝（50x+1500）元，
按方案二共需付款30×100×80%+50x×80%＝（40x+2400）元，
故答案为：（50x+1500），（40x+2400）；
（2）根据题意得：50x+1500＝40x+2400，
解得x＝90，
答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样；
（3）能给出一种更为省钱的购买方案：用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款30×100+50×（40﹣30）×80%＝3400（元），
∴共需付款3400元．
22．（10分）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则AB＝|2﹣3|＝1．
问题提出：
（1）填空：如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离AB＝　15　线段AB的中点表示的数为 　　．
拓展探究：
（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0），
①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　13﹣2t　；
②求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
类比延伸：
（3）在（2）的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．

【分析】（1）由A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；
（2）①t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为 13﹣2t；
②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13﹣3（t﹣5），Q表示的数是﹣2+2（t﹣），即得：13﹣3（t﹣5）＝﹣2+2（t﹣），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13﹣3×（9﹣5）＝1．
【解答】解：（1）∵A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13﹣（﹣2）|＝15，线段AB的中点表示的数为＝，
故答案为：15，；
（2）①t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为 13﹣2t，
故答案为：﹣2+3t，13﹣2t；
②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7，
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7；
（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，
返回途中，P表示的数是13﹣3（t﹣5），Q表示的数是﹣2+2（t﹣），
根据题意得：13﹣3（t﹣5）＝﹣2+2（t﹣），
解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13﹣3×（9﹣5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
23．（11分）点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，射线OE平分△BOC．

（1）如图①，如果∠AOC＝48°，依题意补全图形，求∠DOE度数；
（2）将OD绕点O顺时针旋转一定的角度得到图②，使得OC在直线AB的上方，若∠AOC＝α，其他条件不变，依题意补全图形，并求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将OD绕点O继续顺时针旋转一周，回到图①的位置．在旋转过程中，你发现∠AOC与∠DOE（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠DOE＜180°）之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现．

【分析】（1）根据邻补角的定义，角平分线的定义以及角的和差即可得到结论；
（2）根据邻补角的定义，角平分线的定义以及角的和差即可得到结论；
（3）根据邻补角的定义，角平分线的定义以及角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示；
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝48°，
∴∠BOC＝132°；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝66°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∵∠COD＝90°，∠COE＝66°，
∴∠DOE＝24°；

（2）补全图形如图2所示；
∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝；

（3）如图1，∠DOE＝∠AOC，
如图2，∵∠DOE＝90°﹣∠BOC，∠AOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC，
故∠AOC与∠DOE之间的数量关系为∠DOE＝∠AOC．