八年级数学 培优竞赛 专题14 多边形的边与角 讲义学案

专题14 多边形的边与角

例1  5  7    例2  B

例3  n＝17  提示：设此角为x，则（n－2）×180°＝x＋2570°，得，x＝130°，此时n＝17.

例4  双向延长AB，CD，EF，GH得四边形MNPQ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为，每一外角均为45°，因此MNPQ为长方形，△BPC，△DQE，△FMG，△ANH都是等腰直角三角形.设GH＝x，HA＝y，由MQ＝NP，得MF＋FE＋EQ＝NA＋AB＋BP，∴，∴.

∵MN＝QP，∴x＝3＋2，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋2＋3－＝32＋.

例5  将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M点时走的总路程是180米.

A级

1.  7；540°    2. 36    3. 540°    4. 1＜x＜13    5. D    6. C    7. C    8.A

9.  BC＝10，DC＝6    10. n＝6

11. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.

12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n×108°=360°的n值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.

⑵⑶略.

B级

1.5  2.14  3.180°;(n－4)180° 4.B

5.D   由OA=OB=OC得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°   6.D

7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为x,y,z,w,则

解得x=y=0,z=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.

8.n=324

9.  提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的倍.

10.(1)108°;120°;   (2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则即.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得 n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有一组∴符合条件的图形只有一种.