【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第14讲 四边形与面积（含答案）学案

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第14讲 四边形与面积模拟讲解【例题讲解】例题1、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（    ）A.4   B.5   C.6  D.7【解析】可知S△BEC=S△DFC=S平行四边形ABCD∴S△AFD+S△BFC=S平行四边形=S△EBC∴S3+S4+①+S1+②=①+S2+②∴S4=S2-S1-S3=12-2-3=7  故选D【巩固练习】1、已知△ABC，面积为12，点D在边BC上，满足CD:BD=1：2，点E为AC的中点，连接BE、AD相交于点P，设△APE的面积为S1，△BPD的面积为S₂，求S2-S1=          .2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（）A.60  B.90  C.144   D.169       例题2、如图，在面积为24的平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，连接FH、EG，且GH=DC.则图中阴影部分面积为         .【解析】如右图，连接EF、EH、GF，则四边形EFCD为平行四边形，且SEFCD=12由题意得，,设△HOG的底HG=a，高为h，则△OEF的底EF为2a，高为2h，平行四边形DEFC的底EF为2a，高为3h，则2a·3h=12，即ah=2所以S△HOG=ah=1，S△OEF=·2a·2h=4，所以S阴影=SEFCD-S△HOG-S△EOF=12-1-4=7 例题3、如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于G，BD和AF相交于H，那么四边形BEGH的面积是             .【解析】∵BC//AD，∴△BFH∽△DAH，且相似比为1：2，S△ADH=×2×=，S△FBH=×2×=，易证△ABF≌△DAE，∴∠BAF=∠ADF，∠BAF+∠AEG=90°∴∠AEG=90°，∴△AEG∽△EDA∴，，解得AG=，EG=，∴S△AEG=，S四边形BEGH=2--=【巩固练习】1、如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是               2、如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积为                  3、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点P、Q在DC边上，且PQ=DC.若AB=16，BC=20，则图中阴影部分的面积是            4、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以斜边BC上的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF位置，当BP=3时，求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是           5、如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为                    例题4、如图，以△ABC的两条边AB、AC为一边向上作正方形ABED和正方形ACGF，连接FD。（1）求证：S△ABC=S△AFD.（2）过点A作AN⊥BC，反向延长NA交DF于点M，求证：DM=MF.【解析】（1）如图3，过点F作FP⊥AD，点C作CQ⊥AB，∴∠FPA=∠AQC=90°∵四边形ACGF为正方形，∴AC=AF，∠FAC=90°∵∠PAF+∠QAF=∠QAC+∠QAF=90°∴∠PAF=∠QAC∴△QAC≌△PAF（AAS）∴QC=PF∵S△ADF=AD·PF，S△ABC=AB·CQ∵ AD=AB，∴S△ADF=S△ABC （2）如图4，过点D和点F作NM垂线，垂足分别为点H和点K，利用三次全等，先证△DHA≌△BNA，得 GH=NA，再证△FKA≌△CNA，得FK=NA，所以GH=FK，最后再证△DHM≌△FKM，所以DM=MF     【巩固练习】1、如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7和11，则△CDE的面积等于          .2、以□ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL.若□ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为          . 例题5、如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD=18时，四边形ABCD的面积最大值是         .【分析】以前我们做的都是求对角线成直角的四边形面积，面积公式为对角线乘积的一半，那么我们回忆一下，你知道公式是怎么推倒出来的吗？当角度为45°时，是否可以用同样的方法去解决呢？【解答】如图，过点B作BF⊥AC，过点D作DE⊥AC，过点D作DG⊥BG，交BF延长线于点G.∵S四边形ABCD=S△ACB+S△ACD∴S四边形ABCD=AC·BF+AC·DE=AC·(BF+DE)= AC·BG根据题意，易得BG=BD 【巩固练习】1、如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为α，AC+BD=10，当AC、BD的长等于      时，则四边形ABCD的面积最大是          .2、已知四边形ABCD中，AD+BD+BC=16，则四边形ABCD的面积最大值是（    ）A.16  B.32  C.   D.
【巩固练习】1、如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为100cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形ABDC的面积是（      ）A.40 cm2   B.60 cm2   C.70 cm2   D.80 cm22、如图，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，则△PBD的面积为           。  3、如图，在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是            . 4、如图，边长为6的正方形ABCD和边长为8的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的对称中心，则阴影部分的面积为          .  5、如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于              .   6、如图，矩形ABCD长为a，宽为b，若S1=S₂=(S3+S4)，则S4=         （用含a、b字母的代数表示）7、如图，设F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF，交AB的延长线于E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为            。8、如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为          。9、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x>0）上，BC与x轴交于点D.若点A的坐标为（1，2），则四边形OABD的面积为                .10、如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为        .（用含n的代数式表示，n为正整数） 11、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF、四边形DHOG的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4. 12、已知平行四边形ABCD，点F为线段BC上一点（端点B、C除外），连接AF、AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE.（1）当F为BC的中点时，求证△EFC与△ABF的面积相等；（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由.   13、如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论.    14、如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12，在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决。（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红.                  
参考答案1.答案：42.答案：90   参考答案答案：答案：答案：92答案：1.44答案：2：5    参考答案答案：答案：10    参考答案答案：5，答案：B   参考答案答案：B答案：4答案：答案：12答案：7答案：答案：24答案：答案：答案： 答案：连接OC，OB，OA，OD，∵E、F. G、H依次是各边中点，∴△AOE和△BOE等底等高,所以S△OAE=S△OBE，同理可证,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH，∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，∴：S1+S2=S3+S4 答案：(1)证明：∵点F为BC的中点，∴BF=CF=BC=，又∵BF∥AD，∴BE=AB=b，∴A,E两点到BC的距离相等,都为bsinα,则S△ABF=⋅⋅bsinα=absinα，S△EFC=⋅a⋅bsinα=absinα，∴S△ABF=S△EFC;(2)法一：当F为BC上任意一点时，设BF=x，则FC=a−x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BF：AD=BE：(BE+AB),∴x:a=BE(BE+b)，∴BE= x,在△EFC中,FC边上的高h1=BEsinα，∴h1=bx:sinα:(a−x)，∴S△EFC=12FC⋅h1= (a−x)⋅bxsinαa−x=bxsinα,又在△ABF中,BF边上的高h2=bsinα，∴S△ABF=12bxsinα，∴S△ABF=S△EFC;法二：∵ABCD为平行四边形，∴S△ABC=S△CDE=absinα，又∵S△AFC=S△CDF，∴S△ABC−S△AFC=S△CDE−S△CDF，即S△ABF=S△EFC 答案：如图，连结FH，延长CB到M，使BM=DH，连结AM，∵Rt△ABM≌Rt△ADH，∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90∘，如图，设正方形ABCD边长为a，AG=m，GP=n，则FC=a−n，CH=a−m，∵矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，∴a2−(m+n)a+mn=2mn，①在Rt△FCH中,FH2=(a−n) 2+(a−m) 2，②联立①②,得FH2=MF2=(m+n) 2，∴FH=MF.∵AF=AF,AH=AM,∴△AMF≌△HAF，∴∠HAF=∠MAF=45∘.  答案：(1)∵BE=AB=15，在直角△BCE中, CE= =9∴DE=6，∵∠EAD+∠BAE=90∘，∠BAE=∠BEF，∴∠EAD+∠BEF=90∘，∵∠BEF+∠F=90∘，∴∠EAD=∠F∵∠ADE=∠FBE∴△ADE∽△FBE， ∴AD：BF=DE：BE，12：BF=6：15，∴BF=30；       (2)①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，∴F′N：F′G=HN：EG,即6：30=HN：15, 解得：HN=3，∴S△AMH=⋅AM⋅MH=×12×24=144；②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，∴GB：GB′=EB：B′C′,即（30−GB′）：GB′=3：12,解得：GB′=24，∴S△B′C′G=⋅B′C′⋅B′G=×12×24=144，∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等。