八年级数学 培优竞赛 专题20 正方形 讲义学案

专题20  正方形

阅读与思考

    矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．

正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．

例题与求解

【例l】 如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.

其中，正确结论的序号是______________．                       （重庆市中考试题）

解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．

【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上

，取线段的中点.连，．

   （1）探究线段，的关系，并加以证明．

   （2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变．

    探究线段，的关系，并加以证明．

                                                                      （大连市中考题改编）

解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．

    【例3】如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.

                                                               （重庆市竞赛试题）

    解题思路：构造的线段是解本例的关键．                                                 

【例4】  如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．  

                                                                    （北京市竞赛试题）

    解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．

【例5】 如图，在正方形中，，分别是边，上的点，满足，

分别与对角线交于点．            

求证：（1）；

     （2）．                         （四川省竞赛试题）

    解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．

【例6】已知 ：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点．

 当绕点旋转到时（如图1），易证．

（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．     

                                                            （黑龙江省中考试题）     

解题思路：对于（2），构造是解题的关键．

能力训练

A级

1. 如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为__________.

（北京市竞赛试题）

2. 四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：

①；

②；

③；

④．

其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.  （把你认为正确的序号都填在横线上）           （浙江省中考试题）                

3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是__________. 

（青岛市中考试题）

       第1题图                                第3题图                 第4题图

4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=__________.                                             （河南省中考试题）                                               

5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为(     )

A .        B．         C.         D.    

                                                   （晋江市中考试题）

              第5题图                              第6题图 

    6. 如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为(     )

A . 12            B．8             C.              D.     

（浙江省竞赛试题）                                                

7．如图，正方形中，，那么是(      )

A .            B．             C.               D.    

8．如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是(     )

A．15             B．12               C．11               D．10        

9．如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：．

10. 如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且 ．

求证：平分．

11. 如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足．

求证：．

（扬州市中考试题）

12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点．探究：线段的关系．

（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（大连市中考试题）

                   图1                                     图2

B级

1. 如图，在四边形中，，于，若四边形的面积为8，则的长为__________.

2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则

__________.   

                                                                    （北京市竞赛试题）

3.如图，在中，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为__________.

（“希望杯”邀请赛试题）

4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；

③；④为定值，其中一定成立的是(      )

A . ①②③            B．①②④           C. ②③④             D. ①②③④    

5.如图，是正方形，，是菱形，则与度数的比值是(      )

A . 3                  B．4                C. 5                  D. 不是整数

6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是(      )

A .          B．          C. 8           D.          E.

（美国高中考试题）

7.如图，正方形中，，是的中点，设，在上取一点，使

，则的长度等于 (      )

A . 1                  B．2                C. 3                  D.

（“希望杯”邀请赛试题）

8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）

（1）求证：；

（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

                                                                   （临汾市中考试题）

    `

9.已知求证：

．

10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数．                                  （“祖冲之杯”邀请赛试题）

11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且．

（北京市竞赛试题）

12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接．求证：．

（武汉市竞赛试题）