2021届江苏省常州高三一模数学试卷及答案

这是一份2021届江苏省常州高三一模数学试卷及答案，共10页。试卷主要包含了02等内容，欢迎下载使用。

2020～2021学年高三年级模拟考试卷
数　　学
(满分：150分　考试时间：120分钟)
2021．02
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{x|x2＋2ax－3a2＝0}，B＝{x|x2－3x>0}．若AB，则实数a的取值范围是(　　)
A. {0}　 B. {－1，3}
C. (－∞，0)∪(3，＋∞)　 D. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
2. i是虚数单位，在复平面内复数－i＋对应的点的坐标为(　　)
A. (，－)　 B. (，－)　
C. (，－)　 D. (，－)
3. 已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的(　　)
A. 充要条件　 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 　 D. 既不充分也不必要条件
4. 设函数f(x)＝aln x＋bx2，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，则函数y＝f(x)的增区间为(　　)
A. (0，1)　 B. (0，)　 C. (，＋∞)　 D. (，1)

5. 用红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为(　　)
A. 　 B. 　
C. 　 D.
6. 如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是(　　)
A. y＝0.15x＋4.05 　 B. y＝x＋1.45
C. y＝1.05x＋1.15　 D. y＝1.15x＋1.05
7. 令(x＋1)2 020＝a1x2 020＋a2x2 019＋a3x2 018＋…＋a2 020x＋a2 021(x∈R)，则a2＋2a3＋…＋2 019a2 020＋2 020a2 021＝(　　)
A. 2 019·22 019　 B. 2 019·22 020
C. 2 020·22 019　 D. 2 020·22 020
8. 若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)＋kx＋b，A>0，φ>0，k，b∈R，则函数f(x)在区间(－π，π)上的零点最多有(　　)
A. 4个 　 B. 5个　 C. 6个 　 D. 7个
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知a，b是平面上夹角为的两个单位向量，向量c在该平面上，且(a－c)·(b－c)＝0，则下列结论中正确的有(　　)
A. |a＋b|＝1　 B. |a－b|＝1
C. |c|<　 D. 向量a＋b，c的夹角是钝角
10. 已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110, 81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有(　　)
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5.
A. 该校学生成绩的期望为110　 B. 该校学生成绩的标准差为9
C. 该校学生成绩的标准差为81　 D. 该校学生成绩及格率超过95%
11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的有(　　)
A. a8＝21 　 B. S7＝32
C. a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n　 D. ＝a2 022
12. 设函数y＝f(x)的定义域为D，若存在常数a满足[－a，a]D，且对任意的x1∈[－a，a]，总存在x2∈[－a，a]，使得f(x1)·f(－x2)＝1，称函数f(x)为P(a)函数，则下列结论中正确的有(　　)
A. 函数f(x)＝3x是P(1)函数
B. 函数f(x)＝x3是P(2)函数
C. 若函数f(x)＝log12(x＋t)是P(2)函数，则t＝4
D. 若函数f(x)＝tan x＋b是P()函数，则b＝±
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为________．
14. 函数f(x)＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|的最小正周期T＝________．
15. 已知椭圆C1：＋＝1的右焦点F也是抛物线C2：y2＝nx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为，则实数n＝________，椭圆C1的离心率e＝________．
16. 已知函数f(x)＝－ln|x－2|，则使不等式f(2t＋1)>f(t＋2)成立的实数t的取值范围是________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，前n项和为Sn.
(1) 若a1 ＝1，S6＝S3，求a3的值；
(2) 若q>1，am＋am＋2＝am＋1，且S2m＝9Sm，m∈N*，求m的值．
18. (本小题满分12分)
已知△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2＋3c2＝3a2＋2bc.
(1) 求sin A的值；
(2) 若sin B＝2sin C，求tan C的值．
19. (本小题满分12分)
已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分；每次射击的结果相互独立．该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次．
(1) 求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；
(2) 求该射手的总得分X的分布列和数学期望．
20. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝AP＝2BC，平面PAB⊥平面ABCD，二面角PBCA的大小为45°.
(1) 求证：PA⊥平面ABCD；
(2) 求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x－aln x＋，a，b∈R.
(1) 若a>0，b>0，且1是函数f(x)的极值点，求＋的最小值；
(2) 若b＝a＋1，且存在x0∈[，1]，使f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．(其中e是自然对数的底数)
22. (本小题满分12分)
已知等轴双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(，)．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 已知点B(0，1)．
① 过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
② 点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，kAP＋kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值．

2020～2021学年高三年级模拟考试卷(常州)
数学参考答案及评分标准
1. D　2. A　3. B　4. C　5. A　6. D　7. C　8. B　9. BC　10. ABD　11. ACD　12. AD
13. 80π　14. 　15. 4，　16. (，)∪(，1)
17. 解：(1) S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋a1q3＋a2q3＋a3q3＝S3(q3＋1)．
∵ S6＝9S3，∴ S3(q3＋1)＝S3，解得q＝，∴ a3＝a1q2＝.(4分)
(2) ∵ am＋am＋2＝am＋1，∴ am＋amq2＝amq，得q2－q＋1＝0.∵ q＞1，∴ q＝2.
由S2m＝9Sm，＝9×，又a1≠0，∴ 1－22m＝9(1－2m)，(7分)
即(1－2m)(1＋2m)＝9(1－2m)．
∵ m∈N*，则1－2m≠0，∴ 1＋2m＝9，解得m＝3.(10分)
18. 解：(1) 因为3b2＋3c2＝3a2＋2bc，由余弦定理得cos A＝＝＝；(3分)
因为A∈(0，π)，所以sin A＝＝＝.(5分)
(2) △ABC中，B＝π－(A＋C)，(6分)
所以2sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋sin C，(9分)
sin C＝cos C，cos C≠0，所以tan C＝＝.(12分)
19. 解：记“该射手射中固定靶”为事件A，“该射手第1次射击移动靶射中”为事件B，“该射手第2次射击移动靶射中”为事件C.(1分)
(1) 记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，则P(A)＝，
P(B)＝P(C)＝，D＝ABC＋ABC，其中ABC，ABC互斥，A，B，C，B，C相互独立．(3分)
从而P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××(1－)＝，
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝×(1－)×＝，
有P(D)＝P(ABC＋ABC)＝P(ABC)＋P(ABC)＝.
答：“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率为.(5分)
(2) X的可能取值为0，1，2，3，4，5.(6分)
P(X＝0)＝P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝(1－)(1－)(1－)＝，
P(X＝1)＝P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，
P(X＝2)＝P(ABC＋A BC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝××＋××＝，
P(X＝4)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，
P(X＝5)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，(10分)
该射手的总得分X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P






X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.(12分)
20. (1) 证明：四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，
所以BC⊥平面PAB.(2分)
因为AB，BP，PA平面PAB，所以BC⊥AB，BC⊥PB，BC⊥PA，
从而∠PBA是二面角PBCA的平面角．
因为二面角PBCA的大小为45°，所以∠PBA＝45°.
因为△PAB中AB＝AP，所以∠BPA＝∠PBA＝45°，(5分)
所以∠PAB＝90°，即AB⊥PA.
因为BC⊥PA，AB∩BC＝B，AB，BC平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.(7分)
(2) 解：底面ABCD内，过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接PH，
由(1)知PA⊥平面ABCD，又BH平面ABCD，所以PA⊥BH.
因为PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，所以BH⊥平面PAC，(10分)
从而∠BPH为直线PB与平面PAC所成的角，其中BH＝＝BC，
PB＝AB＝2BC，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为＝.(12分)
21. 解：(1) f′(x)＝1－－，因为1是函数f(x)的极值点，所以f′(1)＝1－a－b＝0，
即a＋b＝1，此时f′(x)＝1－－＝＝＝，
当0＜x＜1，f′(x)＜0，当x＞1，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取极小值．(2分)
所以＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋.
因为a＞0，b＞0，
所以＋≥2＝2(当且仅当b＝2－，a＝－1时等号成立)
此时＋有最小值3＋2，(5分)
(2) 当b＝a＋1时，f(x)＝x－aln x＋，
存在x0∈[，1]，使f(x0)＜0成立，即函数f(x)在[，1]上的最小值小于0.(7分)
f′(x)＝1－－＝(x＞0)，
① 当1＋a≥1，即a≥0时，f(x)在[，1]上单调递减，
所以f(x)在[，1]上的最小值为f(1)＝1＋a＋1＝a＋2＜0，
所以a＜－2，不符，舍去；(8分)
② 当1＋a≤，即a≤－1时，f(x)在[，1]上单调递增，
所以f(x)在[，1]上的最小值为f()＝＋a＋e(a＋1)＝(e＋1)a＋e＋＜0，
所以a＜－.
又a≤－1，所以a＜－；(9分)
③ 当＜1＋a＜1，即－1＜a＜0时，
f(x)在[，1＋a]上单调递减，在[1＋a，1]上单调递增，
所以f(x)在[，1]上的最小值为f(1＋a)＝a＋1＋1－aln(a＋1)＝a[1－ln(a＋1)]＋2.
因为＜1＋a＜1，所以－1＜ln(a＋1)＜0，所以1＜1－ln(a＋1)＜2，
所以a＞a[1－ln(a＋1)]＞2a，
所以f(1＋a)＝a[1－ln(a＋1)]＋2＞2a＋2＞0，不符，舍去，(11分)
综上可得，实数a的取值范围是a＜－.(12分)
22. 解：(1) 由题意a＝b，且－＝1，解得a＝b＝1，
所以双曲线C的标准方程为x2－y2＝1.(2分)
(2) ① 由对称性可设E(x，y)，F(－x，－y)，
则·＝(x，y－1)·(－x，－y－1)＝－x2－y2＋1.
因为点E在双曲线C上，所以x2－y2＝1，所以y2＝x2－1，
所以·＝2(1－x2)≤0，
当|x|＝1时，·＝0，∠EBF为直角，
当|x|＞1时，·＜0，∠EBF为钝角．
因此，∠EBF最小时，|x|＝1，k＝0.(5分)
② 设A(m，n)，过点B的动直线为y＝tx＋1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(1－t2)x2－2tx－2＝0，
所以
由1－t2≠0，且Δ＞0，解得t2＜2且t2≠1，(7分)
kAP＋kAQ＝λ，即＋＝λ，即＋＝λ，
化简得(2t－λ)x1x2＋(－mt＋1－n＋λm)(x1＋x2)－2m＋2mn－λm2＝0，
所以(2t－λ)＋(－mt＋1－n＋λm)－2m＋2mn－λm2＝0，
化简得(λm2－2mn)t2＋2(λm－n－1)t＋2λ－2m＋2mn－λm2＝0.
由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，
所以(10分)
将①代入②得到λ＝m，从而
如果m＝0，那么n＝－1，此时A(0，－1)不在双曲线C上，舍去．
因此m≠0，从而m2＝2n，代入m2＝n＋1解得n＝1，m＝±.
此时A(±，1)在双曲线C上．
综上，A(，1)，λ＝或者A(－，1)，λ＝－.(12分)