北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 排列数公式第2课时同步测试题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 排列数公式第2课时同步测试题，共7页。试卷主要包含了某小组6个人排队照相留念等内容，欢迎下载使用。

(15分钟 30分)
1．(2021·哈尔滨高二检测)现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( )
A．36 B．24 C．22 D．20
【解析】选A.根据题意，按甲的站法分2种情况讨论：
①若甲站在两端，
甲有2种情况，乙必须与甲相邻，有1种情况，剩余3人全排列，安排在剩余的3个位置，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种站法，
则此时有2×1×6＝12种站法；
②若甲不站在两端，
甲可以站在中间的3个位置，有3种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况，
甲与丁不能相邻，丁有2个位置可选，有2种情况，
剩余2人全排列，安排在剩余的2个位置，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2种站法，则此时有3×2×2×2＝24种站法．
则一共有24＋12＝36种站法．
2．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )
A．1 543 B．2 543 C．3 542 D．4 532
【解析】选C.首位是1的四位数有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝24(个)，
首位是2的四位数有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝24(个)，
首位是3的四位数有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝24(个)，
由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个).由此得a72＝3 542.
3．(2021·鸡西高二检测)现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，则不同的排法总数为________．
【解析】根据题意，将五个人全排列，共有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝120种结果．
其中高一学生相邻或高二学生相邻的情况有2A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝96种，
高一学生相邻且高二学生相邻情况，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝24种，
故同一年级的学生不能相邻的排法是120－96＋24＝48(种).
答案：48
4．已知 eq \f(A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(n)) －A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ) ＝89，则n的值为________．
【解析】根据题意，得 eq \f(A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(n)) －A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ) ＝89，则 eq \f(A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(n)) ,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ) ＝90，变形可得A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(n)) ＝90A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ，
则有 eq \f(n！,（n－7）！) ＝90× eq \f(n！,（n－5）！) ，变形可得：(n－5)(n－6)＝90，解得：n＝15或n＝－4(舍)；
故n＝15.
答案：15
5．从－3，－2，－1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，问：
(1)共能组成多少个不同的二次函数？
(2)在这些二次函数中，图像关于y轴对称的有多少个？
【解析】(1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)因为a≠0，
所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) 种，所以共有7A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝294个不同的二次函数．
方法二(直接法——优先考虑特殊元素)
当a，b，c中不含0时，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) 个；当a，b，c中含有0时，有2A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) 个，故共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ＋2A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝294(个)不同的二次函数．
方法三(间接法)共可构成A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) 个函数，其中当a＝0时，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) 个均不符合要求，从而共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) －A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝294(个)不同的二次函数．
(2)依题意b＝0，所以共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝42(个)符合条件的二次函数．
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2021·开封高二检测)甲同学与本校的另外2名男同学2名女同学一同参加《中国成语大全》的海选，5人坐成一排，若甲与2名女同学都相邻，则不同坐法的种数为( )
A．6 B．12 C．18 D．24
【解析】选B.把甲与2名女同学“捆绑”在一起与另外2名男同学全排列有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种情况，再将2名女同学全排列有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 种情况，故满足条件的不同坐法的种数为A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝12.
2．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
【解析】选A. 分三类：甲在周一，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种排法；甲在周二，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) 种排法；甲在周三，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 种排法．所以共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝20种不同的安排方法．
3．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )
A．56个 B．57个 C．58个 D．60个
【解析】选C.采用分类加法计数原理，
第1类：23154，1个；第2类：形如234□□和235□□的数有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×2＝4个；第3类：形如24□□□和25□□□的数有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ×2＝12个；第4类：万位为3的数有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝24个；第5类：形如42□□□和41□□□的数有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ×2＝12个；第6类：形如432□□和431□□的数有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×2＝4个；第7类：43512，1个．
所以共有1＋4＋12＋24＋12＋4＋1＝58个．
4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是( )
A．210 B．144 C．96 D．24
【解析】选C.先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2张连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种，因此共有不同的分法4A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝4×24＝96(种).
【补偿训练】
有编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，要求1号车必须在3号车前出发，共有______种出发顺序．
【解析】编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，共有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) 种出发顺序，要求1号车必须在3号车前出发，所以有 eq \f(A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝6×5×4×3＝360(种)出发顺序．
答案：360
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A．若A，B两人站在一起有24种排法
B．若A，B不相邻共有72种排法
C．若A在B左边有60种排法
D．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种排法
【解析】选BCD.对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步乘法计数原理可知共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝48种排法，所以A不正确；对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝72种排法，所以B正确；
对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有 eq \f(1,2) A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝60种，所以C正确；
对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法计数原理可知共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＋A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝78种排法，所以D正确．
6．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1 440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1 440种不同排法
【解析】选CD.A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝242＝576种不同的排法，A选项错误；
B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝6×120＝720种不同的排法，B选项错误；
C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝12×120＝1 440种不同的排法，C选项正确；
D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此时，共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝24×60＝1 440种不同的排法，D选项正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数．
(1)可以组成________个不同的偶数；
(2)若要求相邻两个数字奇偶性不同，则可以组成________个．(用数字作答).
【解析】用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数，
(1)末位为0时有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝120个；
末位为2或4时有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ×A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ×2＝192个，
故共有120＋192＝312个偶数．
(2)若首位为偶数，则首位不为0，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝24个，若首位为奇数，则有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝36个，故共有24＋36＝60个．
答案：(1)312 (2)60
8.在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列，其中两列各挂3个，一列挂2个，如图所示．一射手按照下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低的一个．若每次射击都遵循这一原则，击碎全部8个靶子可以有________种不同的射击方案．
【解析】自左至右，自下而上分别用字母A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3表示三列靶子．打完8个靶子的所有不同次序相当于把8个字母排个队，但A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3三组内部的先后次序排定．因为各种排列情形是等可能出现的．所以击碎8个靶子的不同次序有 eq \f(8！,3！·2！·3！) ＝560(种).
答案：560
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai(i＝1，2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法共有多少种？
【解题指南】本题有6个对象和6个位置，其中有3个对象1，3，5和3个位置a1，a3，a5是受限制的对象和位置，故可考虑分类法计算其方法种数，且应优先安排特殊对象或特殊位置．
【解析】以特殊位置进行分类，
由于a1≠1，且在a1，a3，a5中a1最小，
故a1只能取2，3，4三个数，
故可以以a1的取值进行分类．
第一类，当a1＝2时，a3可以取数字4或5，共2种选择，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种排列方法，故当a1＝2时，排列方法有2×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝12(种)；
第二类，当a1＝3时，a3可以取数字4或5，共2种选择，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种排列方法，故当a1＝3时，排列方法有2×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝12(种)；
第三类，当a1＝4时，a3只能取数字5，只有1种选择，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种排列方法，故当a1＝4时，排列方法有1×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6(种).
根据分类加法计数原理，满足题意的排列方法共有12＋12＋6＝30(种).
【易错警示】利用分类讨论思想解决问题时，首先要明确分类的标准，如本题以a1的取值作为分类的标准，其次要做到不重不漏，合理简洁．
10．某小组6个人排队照相留念．
(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？
(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？
(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种不同的排法？
(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？
【解析】(1)前排2人，后排4人，相当于6个人全排列，共有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ＝720种排法．
(2)先将甲排在前排有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) 种排法，乙排在后排有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种排法，其余4人全排列有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法，根据分步乘法原理得，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝192种排法．
(3)将甲、乙视为一个人，即看成5人全排列问题有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种排法，再将甲、乙两人排列有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 种排法，根据分步乘法计数原理可得，有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝240种排法．
(4)甲必在乙的右边属于定序问题，用除法， eq \f(A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝360种排法．
(5)将3名男生插入3名女生之间的4个空位，这样保证男生不相邻，根据分步乘法计数原理得，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝144种排法．
(6)方法一：乙在排头其余5人全排列，共有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种排法；乙不在排头，排头和排尾均有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种排法，其余4个位置全排列有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法，根据分步乘法计数原理得有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法，
再根据分类加法计数原理得，有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＋A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝504种排法．
方法二：(间接法) A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) －2A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＋A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝720－240＋24＝504种排法．
1．一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m(m＞1)个车站，客运车票增加了62种，则n＝________，m＝________．
【解析】由题意得A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋m)) －A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝62，即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.整理得m(2n＋m－1)＝62＝2×31.
因为m，n均为正整数，所以2n＋m－1也为正整数．
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,2n＋m－1＝31，)) 得n＝15，m＝2.
答案：15 2
2．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？
【解析】根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有1×1×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有1×1×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝18种不同的放法．
综上，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
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