高中数学第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程学案设计

2.2.2　直线的方程

1．直线的点斜式方程与斜截式方程

在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．

(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0．

(2)直线的点斜式方程：

若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．

思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？

[提示]　直线l的斜率k存在．

(3)直线的斜截式方程

当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为y＝kx＋b．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．

思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？

[提示]　直线既不与x轴重合也不与y轴重合．

2．直线的两点式方程与截距式方程

(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则＝称为直线的两点式方程．

(2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程＋＝1称为直线的截距式方程．

思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？

[提示]　两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点．

3．直线的一般式方程

直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)． (　　)

(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3． (　　)

(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示． (　　)

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．              (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

[提示]　(1)由点斜式方程的形式知正确．

(2)由斜截式方程的形式知正确．

(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．

(4)正确．

2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)

A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1

B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1

C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1

D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1

C　[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，

∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1．]

3．过点(1,2)和(3,5)的直线方程为        ．

3x－2y＋1＝0　[由直线的两点式方程，得＝，化简得3x－2y＋1＝0．]

4．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为        ．

x＋y＋1＝0　[由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．]

【例1】　写出下列直线的点斜式方程．

(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；

(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；

(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；

(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．

[解]　(1)因为倾斜角为45°，

所以斜率k＝tan 45°＝1，

所以直线的方程为y－5＝x－2．

(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°．

由题意知，直线l的倾斜角为135°，

所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1．

所以直线的方程为y－4＝－(x－3)．

(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，

所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1．

(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．

1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．

2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．

1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．

(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；

(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；

(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．

[解]　(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．

(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0．

(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1．

又∵直线过点P(－2,3)，

∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．

【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程．

(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3．

(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5．

(3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)．

[思路探究]　先求直线的斜率，结合y轴上的截距可用斜截式方程求解．

[解]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3．

(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k＝tan 60°＝，由斜截式可得方程y＝x＋5．

(3)斜率为k＝＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式y＝－5x－7．

1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．

2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．

2．(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；

(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程；

(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．

[解]　(1)易知k＝－1，b＝－2，

故直线的斜截式方程为y＝－x－2．

(2)由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化成斜截式为y＝－x＋4．

(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)．

【例3】　在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，

(1)求BC所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

[思路探究]　(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；

(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．

[解]　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

∴由两点式得＝，

即2x＋5y＋10＝0．

故BC所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0．

(2)设BC的中点为M(x0，y0)，

则x0＝＝，

y0＝＝－3．∴M，

又BC边上的中线经过点A(－3,2)．

∴由两点式得＝，

即10x＋11y＋8＝0．

故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．

1．由两点式求直线方程的步骤

(1)设出直线所经过点的坐标．

(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．

(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．

2．求直线的两点式方程的策略以及注意点

当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．

3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为        ；

(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝        ．

(1)x＝2　(2)－2　[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2．

(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0．

又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2．]

[探究问题]

1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？

[提示]　都可以，原因如下：

(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠，直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．

(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0．

2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？

[提示]　能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线．

当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0变成Ax＋C＝0．

即x＝－，它表示与y轴平行或重合的一条直线．

【例4】　设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为        ．

[思路探究]　含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．

[1，＋∞)　[把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即解得a≥1．所以a的取值范围为[1，＋∞)．]

1．本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？

[解]　(1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．

(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．

即解得a＞1．由(1)(2)可知a≥1．

2．若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？

[解]　把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即解得a≤－2．所以a的取值范围为(－∞，－2]．

当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究y＝kx＋b：①k>0，b>0，经过第一、二、三象限；②k>0，b<0，经过第一、三、四象限；③k<0，b>0，经过第一、二、四象限；④k<0，b<0，经过第二、三、四象限．

1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法．

(2)求截距式方程与两点式方程的方法．

(3)求一般式方程的方法．

3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．

1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为(　　)

A．y＋2＝(x－3)　　 B．y－2＝(x＋3)

C．y－2＝(x＋3)   D．y＋2＝(x＋3)

C　[因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝，由直线方程的点斜式，可得方程为y－2＝(x＋3)．]

2．直线y－2＝(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)

A．60°，2   B．60°，2＋

C．120°，2＋   D．120°，2

B　[由y－2＝(x＋1)的可知斜率k＝，故倾斜角60°，

令x＝0可得在y轴上的截距2＋．]

3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)

A．k＞0，b＞0   B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＞0   D．k＜0，b＜0

B　[∵直线经过一、三、四象限，由图知，k＞0，b＜0．

]

4．已知直线l过点P(2,1)，且斜率为－1，则l的点斜式方程为        ．

y－1＝－(x－2)　[直线l的斜率k＝－1，又过点P(2,1)，所以l点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]

5．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．

[解]　直线y＝x＋的斜率k＝，则其倾斜角α＝60°，

∴直线l的倾斜角为120°．

∴直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－．

∴直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)．