考点11一次函数（解析版）练习题

考点11一次函数

考点总结

考点1   一次函数

 1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

考点3   一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车．比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（   ）

A．15km B．16km C．44km D．45km

【答案】A

【分析】

根据图象信息和已知条件，用待定系数法求出，，（），再根据追上时路程相等，求出答案．

【详解】

解：设，将（3,60）代入表达式，得：

，解得：，

则,

当y=30km时，求得x=，

设，将（1,0），，代入表达式，得：

，得：，

∴，

∴，，

∵乙在途中休息了半小时，到达B地时用半小时，

∴当时，设，将（2,30），代入表达式，得到：

，得：，

∴（），

则当时，，

解得：，

∴,

∴当乙再次追上甲时距离A地45km

所以乙再次追上甲时距离地

故选：A．

2．（2021·浙江江干·二模）如图，一次函数和正比例函数在同一坐标系内的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据一次函数及正比例函数的图象对各选项进行逐一分析即可．

【详解】

解：A、∵一次函数的图象经过一、三、四象限，

∴k＞0，b＜0；

∴kb＜0，

∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项不符合；

B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限，

∴k＜0，b＞0．

∴kb＜0，

∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项符合；

C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限，

∴k＜0，b＜0．

∴kb＞0，

∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项不符合；

D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限，

∴k＞0，b＞0．

∴kb＞0，

∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项不符合；

故选：B．

3．（2021·浙江瓯海·二模）在平面直角坐标系中，过直线l：y＝x＋1上一点A（1，a）作AB⊥x轴于B点，若平移直线l过点B交y轴于C点，则点C的纵坐标为（    ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2

【答案】C

【分析】

求得A的坐标，即可求得AB为2，得到平移直线l过点B时，直线向下平移2个单位，从而求得平移后的直线解析式为y＝x﹣1，求得与y轴的交点C为（0，﹣1）．

【详解】

解：如图示：

∵直线l：y＝x＋1过点A（1，a），

∴a＝1＋1＝2，

∴A（1，2），

∵AB⊥x轴于B点，

∴AB＝2，

∴平移直线l过点B时，直线向下平移2个单位，

∴平移后的直线解析式为y＝x﹣1，

∴与y轴的交点C为（0，﹣1），

故选：C．

4．（2021·浙江杭州·一模）已知一次函数，若，则该函数的图象可能是（    ）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】

根据一次函数的图象与性质可直接进行排除选项．

【详解】

解：∵一次函数，且，

∴k和b异号，

∴由A选项可得，故不符合题意；

由B选项可得，故不符合题意；

由C选项可得，故符合题意；

由D选项可得，故不符合题意；

故选C．

5．（2021·浙江路桥·一模）甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ）

A．甲的骑行速度是 B．两地的总路程为

C．乙出发后追上甲 D．甲比乙晚到达B地

【答案】C

【分析】

根据函数与图象的关系依次计算即可判断．

【详解】

甲骑行1250m，故速度为1250÷5=，A正确；

设乙的速度为x，则有20×250-15x=2000

解得x=200

∴乙的速度为，

甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即1.5×200=继续骑行，

∵乙先到达B地，

∴由题意可得两地的总路程为15×200+（85-20）×300=22500m=，B正确；

设乙出发t后追上甲

依题意可得2000=

解得t=30

∴乙出发后追上甲，C错误；

85甲的路程为85×250=21250m

∴甲比乙晚到达B地，D正确

故选C．

6．（2021·浙江临海·一模）路程，速度，时间三者之间的关系式为，当其中一个量是常量时，另外两个变量的函数图象不可能是（    ）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】

分s，v，t是常量，确定函数的属性，根据属性判断图像即可

【详解】

当v是常量时，s是t的正比例函数，A是可能的，不符合题意；当t是常量时，s是v的正比例函数，B是可能的，不符合题意；当t是常量时，v是s的正比例函数，D是不可能的，符合题意；

故选D．

7．（2021·浙江临安·一模）一次函数的图像不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】

根据一次函数的性质可知一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．

【详解】

解：∵一次函数中，k=2，b=-3，

∴一次函数的图像经过一、三、四象限，不经过第二象限，

故选B．

8．（2020·浙江嘉兴·中考真题）一次函数y=-2x-1的图象大致是（    ）

A． B． C．D．

【答案】D

【分析】

由一次函数的图象与解析式系数的关系解答即可．

【详解】

解：根据函数解析式y=-2x-1，

∵k＜0，

∴直线过二、四象限，

∵b＜0，

∴直线经过y轴负半轴，

∴图象经过二、三、四象限．

故答案为D．

9．（2020·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）

A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2

【答案】C

【分析】

分别求出点A、B坐标，再根据各选项解析式求出与x轴交点坐标，判断即可．

【详解】

解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．

∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）

A.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；

B.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；

C.　y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；

D.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；

故选：C

10．（2020·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

求得解析式即可判断．

【详解】

解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），

∴2＝a+a，解得a＝1，

∴y＝x+1，

∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），

故选：A．

二、填空题

11．（2021·浙江温州·模拟预测）如图，直线分别与轴，轴交于点，，直线分别与轴，轴交于点，，直线，相交于点，将向右平移5个单位得到，若点好落在直线上，则______．

【答案】

【分析】

由平移的性质可知: B' (5，3)，代入l2，从而得出l2的函数解析式，求出DE和B' C的长度．

【详解】

∵

∴

将B向右平移5个单位后B′(5，3)

∵B′在直线

∴

∴

∴D(0， 8)，C(8， 0)

因为直线l1，l2相交于点E

∴

∴

∴

作EH⊥y轴于H

由HE∥O′C得△DHE∽△COB'

∴

故答案为20：21

12．（2021·浙江杭州·二模）在，，，4，5五个数中随机选一个数作为一次函数中的值，则一次函数中随的增大而减小的概率是________．

【答案】

【分析】

根据题意可得，由此可得五个数中，，符合题意，进而问题可进行求解．

【详解】

解：由一次函数中随的增大而减小可得：，

∴在，，，4，5五个数中，的值可能为，，，

∴一次函数中随的增大而减小的概率是；

故答案为．

13．（2021·浙江临海·一模）若是一次函数图象上两个不同的点，且，则_______．

【答案】

【分析】

把代入中，解含参的二元一次方程组即可．

【详解】

解：把代入得，

①-②得，

，

∵

∴，

故答案为：．

14．（2021·浙江上城·一模）已知函数，当时，y有最大值6，则________．

【答案】或

【分析】

分类讨论：分k为正和k为负两种情况．当k为正时，y随x的增大而增大，此时函数在x=4处取得最大值，从而可求得k的值；当k为负时，y随x的增大而减小，此时函数在x=-2处取得最大值，从而可求得k的值．

【详解】

（1）当k为正时，y随x的增大而增大，此时函数在x=4处取得最大值，即4k+1=6

解得：k=；

（2）当k为负时，y随x的增大而减小，此时函数在x=-2处取得最大值，即−2k+1=6

解得：k=

故答案为：或

15．（2021·浙江余杭·一模）当kb＜0时，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第____象限．

【答案】一、四

【分析】

由于kb＜0，先根据有理数相乘，同号得正，异号得负，分情况讨论；再结合以下性质分析即可：一次函数y＝kx+b中，k＞0时，图象上升，k＜0时，图象下降，b是图象与y轴的交点，b＞0，图象交y轴于正半轴，b＜0，图象交y轴于负半轴．

【详解】

解：∵kb＜0，

∴k、b异号．

当k＞0，b＜0时，y＝kx+b图象经过第一、三、四象限；

当k＜0，b＞0时，y＝kx+b图象经过第一、二、四象限；

综上，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第一、四象限．

故答案为：一、四．

三、解答题

16．（2021·浙江温州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结．

（1）求的半径和直线的函数表达式．

（2）求点，的坐标．

（3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．

【答案】（1）半径为，直线的函数表达式为；（2）点为，点为；（3）5，10或

【分析】

（1）由，，确定点为，再利用两点间距离公式求解即可得到半径的长，利用待定系数法可直接得到直线CM的函数表达式；

（2）先作辅助线构造相似三角形，求出，，即可得到点为，点为；

（3）先作辅助线，得到，再分三种情况讨论，通过作轴于点，证出点为符合条件的点，再分别讨论当时和时的情况，分别得到和的值，最后完成求解．

【详解】

解：（1），

为的直径．

，，

点为，

半径为．

设直线的函数表达式为．

把，代入得，解得．

直线的函数表达式为；

∴⊙M 的半径为，直线 CM 的函数表达式为．

（2）过点作轴平行线，点作轴平行线交于点，作轴于点（如图1），

，，

，

，且

，，

点为．

点，关于点对称，

点为．

（3）作轴于点，

，．

，

．

分三种情况（如图2）：

①作轴于点，

，，

，

，

，

即点为符合条件的一个点．

．

②当时，

，

．

，

（），

，

．

③当时，

，

，

．

，

，

,

，

．

综上所述，当与的一个内角相等时，的长为5，10或．

17．（2021·浙江宁波·中考真题）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．

（1）请直接写出m，n的值．

（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．

（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？

【答案】（1）；（2）；（3）当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算

【分析】

（1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相除求得；

（2）直接运用待定系数法求解即可；

（3）计算出方案C的图象与方案B的图象的交点表示的数值即可求解．

【详解】

解：（1）

．

（2）设函数表达式为，

把，代入，得

，

解得，

∴y关于x的函数表达式．

（注：x的取值范围对考生不作要求）

（3）（兆）．

由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．

18．（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．

（1）若点的坐标为，

①求，的值．

②当时，直接写出的取值范围．

（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．

【答案】（1）①，；②；（2）0

【分析】

（1）①根据点A关于轴的对称点为点，可求得点A的坐标是，再将点A的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；②观察图象可解题；

（2）将点B代入，解得的值即可解题．

【详解】

解（1）①由题意得，点A的坐标是，

因为函数的图象过点A，

所以，

同理．

②由图象可知，当时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，

即当时，．

（2）设点A的坐标是，则点的坐标是，

所以，，

所以．