考点05 一元二次方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

这是一份考点05 一元二次方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版），共12页。试卷主要包含了一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，利用一元二次方程解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
考点05 一元二次方程考点总结 一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于或形式的方程．2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；（3）当时，方程没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．             图1                      图2                          图34. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m=（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.∴m= 真题演练  一．选择题（共10小题）1．（2021•南皮县一模）下列关于x的方程中，一定有两个不相等实数根的是（　　）A．x2﹣kx+2021＝0 B．x2+kx﹣2021＝0 C．x2﹣2021x+k＝0 D．x2+2021x﹣k＝0【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．【解答】解：A、Δ＝（﹣k）2﹣4×1×2021）＝k2﹣8084，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；B、Δ＝k2﹣4×1×（﹣2021）＝k2+8084＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；C、Δ＝（﹣2021）2﹣4×1×k＝20212﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；D、Δ＝20212﹣4×1×（﹣k）＝20212+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意．故选：B．2．（2021•海港区模拟）已知关于x的方程x2+4x+c＝0的一个根是x＝﹣1，则方程x2+4x+c+1＝0的根的情况是（　　）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根【分析】把x＝﹣1代入方程x2+4x+c＝0，求得c＝3，即可根据根的判别式得出Δ＝42﹣4（c+1）＝16﹣16＝0，据此可得答案．【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+c＝0的一个根是x＝﹣1，∴1﹣4+c＝0，∴c＝3，在方程x2+4x+c+1＝0中，Δ＝42﹣4（c+1）＝16﹣16＝0，∴方程有两个相等的实数根，故选：D．3．（2021•桥东区二模）若x比（x﹣1）与（x+1）的积小1，则关于x的值，下列说法正确的是（　　）A．不存在这样x的值 B．有两个相等的x的值 C．有两个不相等的x的值 D．无法确定【分析】由题意可得：（x﹣1）（x+1）﹣x＝1，整理得x2﹣x﹣2＝0，再由判别式Δ＞0即可求解．【解答】解：∵x比（x﹣1）与（x+1）的积小1，∴（x﹣1）（x+1）﹣x＝1，∴x2﹣1﹣x＝1，∴x2﹣x﹣2＝0，∵Δ＝1+8＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．4．（2021•路南区二模）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（　　）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根【分析】利用根与系数的关系求出所抄方程的b的值为﹣3，则原方程的b的值为﹣2，所以原方程为2x2﹣2x+1＝0，然后计算判别式的值，从而得到方程根的情况．【解答】解：根据题意得x＝1为方程2x2+bx+1＝0的一个根，设此方程的另一根为t，则1+t，1×t，解得t，b＝﹣3，即所抄的b的值为﹣3，所以原方程的b的值为﹣2，则原方程为2x2﹣2x+1＝0，因为Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，所以原方程没有实数解．故选：A．5．（2021•河北一模）若一元二次方程2x2﹣mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣mx+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×2×1＝m2﹣8＞0，解得：m＜2或m＞2，观察选项，只有3符合．故选：A．6．（2021•顺平县二模）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（　　）A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝1，再判断即可．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴a＝c≠b，故选：A．7．（2021•竞秀区一模）已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（　　）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：设常数项为c，由题意可知：Δ＝4﹣4×3c＝4﹣12c≥0，∴c，故选：D．8．（2021•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定【分析】先根据方程的根的判别式，再根据a的范围进行判断判别式的情况即可得出方程根的情况．【解答】解：方程根的判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，∵a＞2，∴（a﹣2）2＞0，即Δ＞0，∴此方程有两个不相等的实数根．故选：B．9．（2021•古冶区一模）当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（　　）A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．【解答】解：x2+4x﹣k＝0，Δ＝42+4k＝4（4+k），∵﹣1＜k＜0，∴4+k＞0，∴Δ＞0，∴该方程有两个不等的实数根．故选：B．10．（2021•长安区二模）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　）A．1 B．0 C．7 D．9【分析】设常数项为c，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范围，然后在此范围内确定最大值即可．【解答】解：设常数项为c，根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0，解得c≤9，所以c的最大值为9．故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2021•滦南县二模）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则：（1）a+b的值为 　4　；（2）的值为 　1　．【分析】由于a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：（1）∵a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的两根，∴a+b＝4，ab＝1，故答案为：4；（2）∵a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，∴1+a2＝4a，1+b2＝4b，∴1，故答案为：1．12．（2021•永德县模拟）已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是　﹣1　．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，∴1+m+n＝0，∴m+n＝﹣1；故答案为：﹣1．13．（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　x＝﹣2　．【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为x＝﹣2÷1＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．14．（2020•曲阳县模拟）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0中，c＜0，该方程解的情况是 　方程有两个不相等的实数根　．【分析】先求出Δ＝42﹣4×1×c＝16﹣4c＞0，再根据根的判别式判断即可．【解答】解：x2+4x+c＝0，Δ＝42﹣4×1×c＝16﹣4c，∵c＜0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：方程有两个不相等的实数根．15．（2020•承德二模）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）4﹣x与　x﹣2　是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）；（2）若（x﹣1）2关于1的平衡数是﹣7，则x的值为　4或﹣2　．【分析】（1）根据题中所给定义即可求解．（2）根据题中所给定义即可得出（x﹣1）2﹣7＝2，解一元二次方程即可求得结果．【解答】解：（1）∵若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数；∴2﹣（4﹣x）＝2﹣4+x＝x﹣2，∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数．故答案为：x﹣2．（2）∵（x﹣1）2关于1的平衡数是﹣7，∴（x﹣1）2﹣7＝2，∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x＝4或﹣2，故答案为4或﹣2．三．解答题（共3小题）16．（2021•衡水模拟）如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上．（1）求五边形ABCDE的面积；（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．【分析】（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，将五边形ABCDE划分成一个梯形和一个矩形的，即可求解；（2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，根据题意列出方程即可求解；（3）设BG＝ym，根据“投资7300元”列出方程即可求解．【解答】解：（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，则∠EAN＝∠AEN＝45°，∴AN＝EN，∵MN＝AB，EM＝CD，∴EN＝EM﹣MN＝DC﹣AB＝10﹣4＝6（m），∴AN＝6（m），∴S五边形ABCDE＝S梯形ABME+S矩形EMCD（4+10）×6+2×10＝62（m2）；（2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，根据题意得，（4+x）（8﹣x）＝35，解得：x1＝1，x2＝3，答：BG的长为1m或3m；（3）设BG＝ym，且0＜BG＜6，由题意得，200（4+y）（8﹣y）+100[62﹣（4+y）（8﹣y）]＝7300，化简，得，y2﹣4y﹣21＝0，解得：y1＝7，y2＝﹣3均不符合题意，∴投资7300元不能完成地面铺设，17．（2021•安次区二模）如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．（1）若抽中的卡片是B．①求整式C；②当x1时，求整式C的值．（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？【分析】（1）①整式C为：B的相反数+A，计算可得结论；②将x1可得整式C的值；（2）分抽中的卡片是B或A两种情况计算整式C的值，并进行配方，可得结论．【解答】解：（1）①∵B+x2﹣9x﹣1＝﹣4x2﹣8x﹣4，∴整式C为：﹣4x2﹣8x﹣4；②当x1时，﹣4x2﹣8x﹣4＝﹣4×（1）2﹣8（1）﹣4＝﹣4（2﹣21）﹣88﹣4＝﹣8+84﹣84＝﹣8；（2）若抽中的卡片是B时，由（1）知：整式C为：﹣4x2﹣8x﹣4＝﹣4（x+1）2，∵﹣4＜0，（x+1）2≥0，∴无论x取何值，此时﹣4x2﹣8x﹣4是非正数；若抽中的卡片是A时，整式C为：﹣x2+9x+1+5x2﹣x+3＝4x2+8x+4＝4（x+1）2，∵4＞0，（x+1）2≥0，∴无论x取何值，此时4x2+8x+4是非负数；∴若无论x取何值，整式C的值都是非负数，则抽到的是卡片A．18．（2021•桥西区模拟）比较x2+y2与2xy的大小．尝试：（用“＜”“＝”或“＞”填空）①当x＝2，y＝2时，x2+y2　＝　2xy；②当x＝1，y＝3时，x2+y2　＞　2xy；③当x＝﹣1，y＝﹣4时，x2+y2　＞　2xy．验证：若x，y取任意实数，x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由；应用：当xy＝1时，请直接写出x2+4y2的最小值．【分析】①根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；②根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；③根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；根据完全平方公式，可得答案．【解答】解：①当x＝2，y＝2时，x2+y2＝4+4＝8，2xy＝2×2×2＝8，则x2+y2＝2xy；②当x＝1，y＝3时，x2+y2＝1+9＝10，2xy＝2×1×3＝6，则x2+y2＞2xy；③当x＝﹣1，y＝﹣4时，x2+y2＝1+16＝17，2xy＝2×（﹣1）×（﹣4）＝8，则x2+y2＞2xy；故答案为：＝；＞；＞；x2+y2≥2xy，理由如下∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；∵xy＝1，∴x2+4y2＝x2+（2y）2≥4xy＝4．故x2+4y2的最小值是4．