考点12一次函数的图象和性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点12一次函数的图象和性质

【命题趋势】

一次函数的图象及性质考查题型主要为选择题、填空题。1、考查内容有：①一次函数的增减性；②一次函数图象上点的坐标特征及函数图象所在象限判定。2、确定一次函数解析式考查形式有：①单纯的根据一次函数性质求其解析式；②结合反比例函数求一次函数解析式；③压轴题中在第（1）或（2）问中求一次函数解析式。

【常考知识】

一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征及函数图象所在象限判定；单纯的根据一次函数性质求其解析式；结合反比例函数求一次函数解析式；压轴题中在第（1）或（2）问中求一次函数解析式。

【夺分技巧】

①直线的倾斜方向“↗”⟺ k>0,函数值随x的增大而增大。

②直线的倾斜方向“↘”⟺ k<0,函数值随x的增大而减小。

③一次函数y=kx+b(k≠0)的上、下平移时，直接在后面加减平移单位；左、右平移时，是左加右减，如直线y=kx+b(k≠0)向左移2个单位得到直线y=k（x+2）+b(k≠0)。

④直线与y轴正半轴相交⟺ b>0;直线与y轴负半轴相交⟺ b<0.

⑤一次函数y=kx+b(k≠0)有两个未知数，因此只需两个独立条件（两个已知点或两组x,y对应值）即可列出一次方程（组）求解。

真题演练

一、单选题

1．（2021·四川德阳·中考真题）下列函数中，y随x增大而增大的是（　　）

A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x+3

C．y（x＜0） D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）

【答案】D

【分析】

一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＞0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．

【详解】

解：A．一次函数y=-2x中的a=-2＜0，y随x的增大而减小，故不符合题意．

B．一次函数y=-2x+3中的a=-2＜0，y随自变量x增大而减小，故不符合题意．

C．反比例函数y=（x＜0）中的k=2＞0，在第三象限，y随x的增大而减小，故不符合题意．

D．二次函数y=-x2+4x+3（x＜2），对称轴x==2，开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，故符合题意．

故选：D．

2．（2021·全国·九年级专题练习）已知双曲线与直线交于，，若，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】

根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可．

【详解】

由题意得方程的两根分别为，，

∴+=，=，

∵

∴，

∴，

∴k、异号，

∵，

∴=，

∵，

∴＞0，

∵，

∴＞0，

∴，

∴，．

故选C．

3．（2021·山东潍坊·中考真题）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

分别画出函数的图像，然后根据min|x1，x2，…，xn|＝﹣1即可求得．

【详解】

如图所示，分别画出函数的图像，

由图像可得， ，

故选：B．

4．（2021·广东·广州市第二中学三模）已知一次函数，y 的值随 x 值的增大而减小，点在该一次函数的图象上，则 n 的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由根据一次函数的增减性即可得出结论

【详解】

解：一次函数，的值随值的增大而减小，且

，

，

故选：B．

5．（2021·浙江温岭·一模）如图，某函数图象由双曲线上点左侧部分和射线（不含端点A）组成，点A与点C关于x轴对称，射线交y轴于点，则下列关于此函数性质描述正确的是（    ）

A．最大值为2                     B．y随x的增大而减小 

C．当时， D．当时，

【答案】D

【分析】

根据反比例函数图像性质和一次函数图像性质，结合题目条件进行逐一判断即可得到答案．

【详解】

解：A、因为点A与点C（-1，-2）关于x轴对称，所以点A的坐标为（-1，2），

故由函数图像可知函数的最大值小于2，故此选项错误；

B、因为C（-1，-2）、B（0，1）x增大时，函数值也增大了，故此选项错误；

C、因为反比例函数经过C（-1，-2），则，所以，

当时，，可以解得，

直线AB经过（-1，2）、（-1，2）可以求得其解析式为：

故当时，，故此说法错误；

D、由C中求出直线AB的解析式为，故其与x轴的交点为（1，0），

所以在，由函数图像可知，当，

由函数图像可知，

故当，，故此说法正确；

故选D．

6．（2021·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y=0，解得即可．

【详解】

解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=-2x的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为y=-2x+4，

∵此时与x轴相交，则y=0，

∴-2x+4=0，即x=2，

∴与x轴交点坐标为(2，0)，

故选：C．

7．（2021·广西南丹·八年级期末）一次函数的图象经过（    ）

A．一、二、三象限 B．一、二、四象限

C．一、三、四象限 D．二、三、四象限

【答案】B

【分析】

根据一次函数关系中系数符号k＜0，b＞0解答即可．

【详解】

∵ 中，

∴一次函数图象经过第二、四象，

∵ ，

∴ 一次函数图象经过一、二、四象限．

故选：B．

8．（2021·安徽·安庆市石化第一中学八年级期中）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第三象限，则所有满足条件的整数的值之和是（　　　）

A． B． C．0 D．1

【答案】C

【分析】

根据关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a的取值范围，从而可以写出满足条件的a的整数值，然后相加即可．

【详解】

解：由不等式组，得，

∵关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，

∴，

解得-3＜a≤1，

∵一次函数y=（a-2）x+a+1不经过第三象限，

∴a-2＜0且a+1≥0，

∴-1≤a＜2，

又∵-3＜a≤1，

∴-1≤a≤1，

∴整数a的值是-1，0，1，

∴所有满足条件的整数a的值之和是：-1+0+1=0，

故选：C．

9．（2021·浙江江干·二模）如图，一次函数和正比例函数在同一坐标系内的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据一次函数及正比例函数的图象对各选项进行逐一分析即可．

【详解】

解：A、∵一次函数的图象经过一、三、四象限，

∴k＞0，b＜0；

∴kb＜0，

∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项不符合；

B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限，

∴k＜0，b＞0．

∴kb＜0，

∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项符合；

C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限，

∴k＜0，b＜0．

∴kb＞0，

∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项不符合；

D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限，

∴k＞0，b＞0．

∴kb＞0，

∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项不符合；

故选：B．

10．（2021·浙江浙江·九年级期末）在平面直角坐标系中，过直线l：y＝x＋1上一点A（1，a）作AB⊥x轴于B点，若平移直线l过点B交y轴于C点，则点C的纵坐标为（    ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2

【答案】C

【分析】

求得A的坐标，即可求得AB为2，得到平移直线l过点B时，直线向下平移2个单位，从而求得平移后的直线解析式为y＝x﹣1，求得与y轴的交点C为（0，﹣1）．

【详解】

解：如图示：

∵直线l：y＝x＋1过点A（1，a），

∴a＝1＋1＝2，

∴A（1，2），

∵AB⊥x轴于B点，

∴AB＝2，

∴平移直线l过点B时，直线向下平移2个单位，

∴平移后的直线解析式为y＝x﹣1，

∴与y轴的交点C为（0，﹣1），

故选：C．

二、填空题

11．（2021·辽宁新抚·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与双曲线在第一象限的分支交于点A，且AB=BC，则k 等于__．

【答案】4

【分析】

点B、C分别与x轴和y轴相交，属于一次函数坐标，求出点B、C，用中点坐标求出A，最后可求k.

【详解】

∵点B、C分别与x轴和y轴相交

∴设点B（x，0）、C（0，y）

代入直线中

∴

∴x=2，y=-1

∴点B（2，0）、C（0，-1）

∵AB=BC，

∴B是AC的中点

设A（a，b）

∴

解得

∴A（4，1）

∵A（4，1）在上

∴把A（4，1）代入得

∴

∴k=4

12．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法不正确的是___________ （只填序号）

①的整数部分为2，小数部分为．

②外角为且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．

③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为．

④新定义运算：，则方程有两个不相等的实数根．

【答案】①③④

【分析】

得到的整数部分即可判断①；先判断出正多边形为正六边形，再求出其内切圆半径即可判断②；根据直线的平移规律可判断③；根据新定义运算列出方程即可判断④．

【详解】

解：①∵，

∴

∴

∴

∴的整数部分为2，小数部分为，故①错误；

②外角为的正多边形的边数为：

∴这个正多边形是正六边形，

设这个正六边形为ABCDEF，如图，O为正六边形的中心，连接OA，过O作OG⊥AB于点G，

∵AB=2，∠BAF=120°

∴AG=1，∠GAO=60°

∴,即外角为且边长为2的正多边形的内切圆的半径为，故②正确；

③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为，故③错误；

④∵新定义运算：，

∴方程，即，

∴

∴方程有两个相等的实数根，故④错误，

∴错误的结论是①③④

帮答案为①③④．

13．（2021·河南·二模）将直线向下平移2个单位长度，平移后的直线解析式为______．

【答案】

【分析】

根据解析式“上加下减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：将直线向下平移2个单位长度，

平移后的直线解析式为，

故答案为：．

14．（2021·湖南永州·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．

【答案】

【分析】

连接点A，B交轴于点P，则 PA+PB的值最小，此时点P即为所求．

【详解】

解：连接点A，B，

设直线AB的解析式为

点，点

解得

直线AB的解析式为

当时，则

解得

故答案为：

15．（2021·湖北黄石·中考真题）将直线向左平移（）个单位后，经过点(1，−3)，则的值为______．

【答案】3

【分析】

根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点(1，−3)的坐标代入求值即可．

【详解】

解：将一次函数y=-x+1的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到，

把(1，−3)代入，得到：，

解得m=3．

故答案为：3．

16．（2021·江苏玄武·二模），是下列函数图像上任意的两点：①；②；③；④ ；其中，满足的函数有______．（填上所有正确的序号）

【答案】①④

【分析】

根据乘法的性质得到或，得到随增大而减小，再根据函数的性质依次分析即可得到答案．

【详解】

∵

∴或．

∴时，时，即随增大而减小，

选项①，随增大而减小，故符合该解析式；

选项②，在每个象限内，随增大而减小，故不符合该解析式；

选项③，开口向上，对称轴直线．

当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，故不符合该解析式；

选项④，开口向下，对称轴直线，自变量取值范围．当时，随增大而减小，故符合该解析式．

故答案为：①④．

17．（2021·江苏镇江·一模）已知一次函数，当时，y的最小值等于_____．

【答案】-3

【分析】

根据一次函数的性质即可得答案．

【详解】

∵一次函数中，＞0，

∴y随x的增大而增大，

∵，

∴当x=-3时，y有最小值，最小值为=-3，

故答案为：-3

18．（2021·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．

【答案】

【分析】

计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．

【详解】

解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），

∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入，

得：，得：x=-4，即A（-4，3），

∴OB=3，AB=4，OA==5，

由旋转可知：

OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，

∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，

∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，

设B21（a，），则OB21=，

解得：或（舍），

则，即点B21的纵坐标为，

故答案为：．

19．（2021·浙江杭州·二模）在，，，4，5五个数中随机选一个数作为一次函数中的值，则一次函数中随的增大而减小的概率是________．

【答案】

【分析】

根据题意可得，由此可得五个数中，，符合题意，进而问题可进行求解．

【详解】

解：由一次函数中随的增大而减小可得：，

∴在，，，4，5五个数中，的值可能为，，，

∴一次函数中随的增大而减小的概率是；

故答案为．

20．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）一次函数的函数值随值的增大而增大，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】

根据随值的增大而增大，可判断即可得解．

【详解】

解：由题：，

解得：，

故答案为：．