中考数学一轮全程复习课时练第28课时《矩形、菱形、正方形》(教师版)

第28课时　矩形、菱形、正方形

一、选择题

1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是        (D)

A．两组对边分别平行       B．两组对角分别相等

C．对角线互相平分        D．对角线互相垂直

2．如图，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是 (B)

A．6 m         B．6 m

C．3 m          D．3 m

3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是   (D)

A．∠ABC＝90°        B．AC＝BD

C．OA＝OB         D．OA＝AD

4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为               (C)

A．45°          B．55°

C．60°          D．75°

5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是   (B)

A．AB＝BE       B．BE⊥DC

C．∠ADB＝90°         D．CE⊥DE

6．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形(如图)现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)

A．①②     B．②③     C．①③     D．②④

二、填空题

7．已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.

8．如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．

9．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝__22.5__度．

10．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．

11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．

【解析】如答图，连结BD，DE，

∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，

∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，

∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.

三、解答题

12．如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.

(1)求证：AE＝DF；

(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴AE＝DF；

(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，

∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，

∴AF＝DF，

∴平行四边形AEDF为菱形．

13．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.

(1)求证：△ABD≌△CAE；

(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．

解：(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，BD＝CD.

∵AE∥BC，CE⊥AE，

∴四边形ADCE是矩形，

∴AD＝CE.

在Rt△ABD与Rt△CAE中，

∴△ABD≌△CAE(HL)；

(2)DE∥AB，DE＝AB.证明如下：

如答图所示，

∵四边形ADCE是矩形，

∴AE＝CD＝BD，AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴DE∥AB，DE＝AB.

14．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.

(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；

(2)连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．

解：(1)DE⊥FG，理由如下：

由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，

∴∠BDE＋∠BED＝90°.

∴∠GFE＋∠BED＝90°，

∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；

(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，

∴CB∥GE，CB＝GE.

∴四边形CBEG是平行四边形．

∵∠ABC＝∠GEF＝90°，

∴四边形CBEG是矩形．

∵BC＝BE，

∴四边形CBEG是正方形．

15．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.

(1)求证：四边形EGFH是矩形；

(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．

解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.

∴∠FEH＝∠BEF，

∵FH平分∠DFE，

∴∠EFH＝∠DFE，

∵AB∥CD，

∴∠BEF＋∠DFE＝180°，

∴∠FEH＋∠EFH＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°，

又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，

∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，

同理可证，∠EGF＝90°，

∵EG平分∠AEF，

∴∠FEG＝∠AEF，

∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH＝∠BEF，

∵点A，E，B在同一条直线上．

∴∠AEB＝180°，

即∠AEF＋∠BEF＝180°.

∴∠FEG＋∠FEH＝(∠AEF＋∠BEF)＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°.

∴四边形EGFH是矩形；

(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．

例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.

16．若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是 (D)

A．矩形

B．菱形

C．对角线相等的四边形

D．对角线互相垂直的四边形

17．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是____．