15.实数全章复习与巩固（基础）知识讲解

实数全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：平方根和立方根

要点二：实数

有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

 （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；        

③有特定结构的数，如0.1010010001…

　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

（4）实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点一 一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算：

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数          大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

【典型例题】

类型一、有关方根的问题 

1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（　　　）

A.2个         B.3 个       C.4 个      D.5个

【答案】B；

【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.

【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.

举一反三：

【变式】下列运算正确的是（    ）  

A．    B．    C．    D．

【答案】C；

2、若，则±＝       

        若，，则

【答案】±1.01；7.16；

【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16

【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.

类型二、与实数有关的问题

3、把下列各数填入相应的集合：

－1、、π、－3.14、、、、．

（1）有理数集合｛            ｝；

（2）无理数集合｛            ｝；

（3）正实数集合｛            ｝；

（4）负实数集合｛            ｝．

【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.

【答案与解析】

（1）有理数集合｛－1、－3.14、、  ｝；

（2）无理数集合｛ 、π、、 ｝；

（3）正实数集合｛ 、π、、、 ｝；

（4）负实数集合｛ －1、－3.14、 ｝．

【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.

举一反三：

【变式】（2015•绥化）在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（　　）

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

【答案】B；

4、计算（1） （2）

（3）

【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.

【答案与解析】

解：（1）＝

   （2）＝

 （3）＝.

【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.

举一反三：

【变式】计算(1)

(2)

【答案】

解：(1)

     (2)

     .

5、（2015•资阳）已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为　　．

【答案】12．

【解析】

解：∵（a+6）2+=0，

∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，

解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，

可得2b2﹣4b=6，

则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，

故答案为：12．

【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．

举一反三：

【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：

化简＋∣－∣＝         .

【答案】

解：∵＜0＜,

∴－＜0

∴＋∣－∣＝－－(－)＝－2.

【高清课堂：389318  实数复习，例5】

【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是：               ；

【答案】；

类型三、实数综合应用

6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？

【答案与解析】

解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，

它的边长为 （米）．

由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，

所以扩建后鱼池的面积为≈333.0（平方米）．

答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．

【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．

举一反三：

【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长．

【答案】

解：设水池的底边长为，由题意得

答：这个水池的底边长为18.