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    13《有理数》全章复习与巩固(基础)知识讲解学案
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    13《有理数》全章复习与巩固(基础)知识讲解学案

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    这是一份13《有理数》全章复习与巩固(基础)知识讲解学案,共6页。学案主要包含了学习目标,知识网络,要点梳理,典型例题,总结升华,思路点拨,答案与解析等内容,欢迎下载使用。

    《有理数》全章复习与巩固(基础)

    【学习目标】

     1.理解正负数的意义,掌握有理数的概念.
    2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
    3.学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.

    4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.

    5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.

    【知识网络】

    【要点梳理】

    要点一、有理数的相关概念

    1.有理数的分类:

    (1)按定义分类:                                    (2)按性质分类:

    要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;

    (2)有理数0的作用:

    作用

    举例

    表示数的性质

    0是自然数、是有理数

    表示没有

    3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示

    表示某种状态  

    表示冰点

    表示正数与负数的界点

    0非正非负,是一个中性数

     

    2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.

    要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如

    (2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.

    3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数0的相反数是0

    要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.

    (2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可.

    (3)多重符号的化简:数字前面号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.

    4.绝对值:

    (1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 数a的绝对值记作

     

     

     

    (2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

    要点二、有理数的运算

    1 .法则:

    (1)加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加,仍得这个数.

    (2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .

    (3)乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同0相乘,都得0.

    (4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·(b0) .

      (5)乘方运算的符号法则:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.

      (6)有理数的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减;同级运算,从左到右进行;

    如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.

    要点诠释:奇负偶正口诀的应用:

    (1)多重负号的化简,这里奇偶指的是号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,

    -[+(-3)]=3.

    (2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.

    (3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如:

    2.运算律:

    (1交换律:   加法交换律:a+b=b+a; 乘法交换律:ab=ba;

    (2)结合律:   加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c);  乘法结合律:(ab)c=a(bc)

    (3)分配律:a(b+c)=ab+ac

    要点三、有理数的大小比较

    比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法.

    要点四、科学记数法、近似数及精确度

    1.科学记数法:把一个大于10的数表示成的形式(其中是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=

    2.近似数:接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞,这里的6300㎞就是近似数.

    要点诠释:一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入.

    3.精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.

    要点诠释:

    (1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.

    (2)精确度有两种形式:精确到哪一位.保留几个有效数字.这两种的形式的意义不一样,一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小,例如精确到米,说明结果与实际数相差不超过米,而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.

    【典型例题】

    类型一、有理数相关概念 

    1若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身.则这个数分别为(1)________;(2)________;(3)________;(4)________;(5)________.

     答案(1)0;   (2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1

     解析根据定义,把符合条件的有理数写全.

     【总结升华】全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.

    举一反三:

    【变式】(1)的倒数是      的相反数是      的绝对值是       .

      --8)的相反数是     的相反数的倒数是_____.

    (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是   _     ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是        .

    (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为                mmin.

    (4) 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则____      .

    (5) 近似数0.4062精确到      位,近似数 5.47×105精确到       位,近似数3.5万精确到            位, 3.4030×105精确到千位是              .

    【答案】(1) ;-8;2  (2)降价5.8元,70.2 元;(3);(4)3;

    (5)万分;千;千;3.40×105

    2.(2015春•射洪县月考)如果|x+3|+|y﹣4|=0,求x+2y的值.

    【思路点拨】根据非负数的性质,可求出x、y的值,然后将x、y的值代入代数式化简计算即可.

    【答案与解析】

    解:|x+3|+|y﹣4|=0,

    x+3=0,y﹣4=0,

    解得,x=﹣3,y=4,

    x+2y=﹣3+4×2=5.

    【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质,掌握有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零是解题的关键.

    3.在下列两数之间填上适当的不等号:

        ________

    【思路点拨】根据a-b>0,a-b=0,a-b<0分别得到a>b,a=b,a<b来比较两数的大小.

    【答案】

    解析法一:作差法

    由于,所以

    法二:倒数比较法:因为

    所以

    【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.

    举一反三:

    【变式】比较大小(1)________0.001      (2)________-0.68

    【答案】(1)<    (2)>

    类型二、有理数的运算

    4.(2016•厦门)计算:

    思路点拨原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.

    答案与解析

    解:原式=10+8×﹣2×5

    =10+2﹣10

    =2.

    【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里边的,同级运算从左到右依次进行计算,然后利用各种运算法则计算,有时可以利用运算律来简化运算

     

    举一反三:
    【变式】(2014秋•埇桥区校级期中)﹣33×(﹣5)+16÷(﹣2)3﹣|﹣4×5|+(﹣0.625)2

    答案

    解:原式=﹣27×(﹣5)+16÷(﹣8)﹣|﹣20|+02

    =135﹣2﹣20+0

    =113.

     

    类型三、数学思想在本章中的应用

     5.(1)数形结合思想:有理数a在数轴上对应的点如图所示,则a,-a,1的大小关系.

     

     

        A.-a<a<1    B.1<-a<a    C.1<-a<a    D.a<1<-a

        (2)分类讨论思想:已知|x|=5,|y|=3.求x-y的值.

        (3)转化思想:计算:

    答案与解析

    解:(1)将-a在数轴上标出,如图所示,得到a<1<-a,所以大小关系为:a<1<-a.

     所以正确选项为:D.

     

     

    (2)因为| x|=5,所以x为-5或5

        因为|y|=3,所以y为3或-3.

    当x=5,y=3时,x-y=5-3=2

        当x=5,y=-3时,x-y=5-(-3)=8

        当x=-5,y=3时,x-y=-5-3=-8

        当x=-5,y=-3时,x-y=-5-(-3)=-2

        故(x-y)的值为±2或±8

    (3)原式=

    【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数以数解形使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把新知识转化为旧知识,将未知转化为已知

    举一反三:
    【变式】若a是有理数,|a|-a能不能是负数?为什么?

    答案解:当a>0时,|a|-a=a-a=0;

           当a=0时,|a|-a=0-0=0;

           当a<0时,|a|-a=-a-a=-2a>0.

       所以,对于任何有理数a,|a|-a都不会是负数.

    类型四、规律探索

     6.将1,,按一定规律排列如下:

        请你写出第20行从左至右第10个数是________.

    【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述,然后归纳总结,寻找规律

    答案

    解析 认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,……,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3++20=210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是;又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是

    【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并将规律表示出来.

     

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