21《整式的加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解

《整式的加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；

2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；

3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、整式的相关概念

 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．

4．整式：单项式和多项式统称为整式．

要点二、整式的加减

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：

（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．

2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．

3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．

4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．

5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．

【典型例题】

类型一、整式的相关概念 

1．（2016春•新泰市期中）下列说法正确的是（　　）

A．1﹣xy是单项式          B．ab没有系数

C．﹣5是一次一项式      D．﹣a2b+ab﹣abc2是四次三项式

【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案．

【答案】D．

【解析】解：A、1﹣xy是多项式，故A错误；

B、ab的系数是1，故B错误；

C、﹣5是单项式，故C错误；

D、﹣a2b+ab﹣abc2是四次三项式，故D正确；

故选：D．

【总结升华】本题考查了单项式，单项式的系数，多项式，多项式的次数等基本概念，关键是对这些基本概念一定要熟悉．

举一反三：

【变式1】（2014•佛山）多项式2a2b﹣ab2﹣ab的项数及次数分别是（　　）

A．3，3      B．3，2     C．2，3     D．2，2

【答案】A

2a2b﹣ab2﹣ab是三次三项式，故次数是3，项数是3．

【变式2】若多项式是关于的二次三项式，则，，这个二次三项式为                  .

【答案】

类型二、同类项及合并同类项

2．若是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加.

【答案与解析】

解：因为是同类项，

    所以   解得

当且时，

.

【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.

举一反三：

【变式】合并同类项．

    (1)；

    (2)．

【答案】

 (1)原式＝

(2)原式

．

 类型三、去（添）括号

3．化简．

【答案与解析】

解：原式＝．

【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．

举一反三：

【变式1】下列去括号正确的是(    )．

    A．

    B．

    C．

    D．

【答案】D

【变式2】先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a的值代入求值．

【答案】

．

    当时，原式＝0-0-4＝-4．

【变式3】(1)  (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25;
　　　　(2)  (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]．

【答案】（1）x＋y;　　　　（2）－b＋c，－b＋c

类型四、整式的加减

4. （2015春•无锡校级期中）已知x=2015，求代数式（2x+3）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16的值”时，马小虎把“2015”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的，这是为什么？请你说明原因．

【答案与解析】

解：原式=6x2+4x+9x+6﹣6x2﹣18x+16=22，

结果不含x，故原式化简后与x的取值无关，

则马小虎把“2015”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的

【总结升华】原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，根据结果不含x，即可得证．此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

举一反三：

【变式】已知A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且A＋B＋C＝0，则多项式C为(   )．
　　A．5x2－y2－z2　　　　B．3x2－5y2－z2
　　C．3x2－y2－3z2 　　　D．3x2－5y2＋z2
【答案】B

类型五、化简求值

5.（2016春•盐城校级月考）先化简，再求值：3x2y﹣[2x2﹣（xy2﹣3x2y）﹣4xy2]，其中|x|=2，y=，且xy＜0．

【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出x的值，代入原式计算即可得到结果．

【答案与解析】

解：原式=3x2y﹣2x2+xy2﹣3x2y+4xy2=5xy2﹣2x2，

∵|x|=2，y=，且xy＜0，

∴x=﹣2，y=，

则原式=﹣﹣8=﹣．

【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当x=…时，原式=….

举一反三：

【变式】已知，求代数式的值．

【答案】

设，则，原式．

    又因为＝6，所以原式．

类型六、综合应用

6. 对于任意有理数x，比较多项式与的值的大小．

【答案与解析】

解：

∵

∴无论x为何值，＞．

【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．

举一反三：

【变式】设, .

若且，求.

【答案】∵ ，，

    ∴   即

    ∴

    ∵ 且，

    ∴

∴

      ,

      .