2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第5讲二次函数与幂函数集训含解析文

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[A级 基础练]
1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选D．函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.
2．设函数f(x)＝xeq \s\up8(\f(2,3))，若f(a)>f(b)，则( )
A．a2>b2 B．a2f(b)，所以a2>b2.故选A．
3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是( )
解析：选C．若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a0，b>0，从而－eq \f(b,2a)f(1)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a0，2a＋b＝0 D．af(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0，故选A．
5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是( )
A．[0，4] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
解析：选D．二次函数图象的对称轴为x＝eq \f(3,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
6．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．
解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2.
答案：2
7．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝eq \f(1,3).
所以y＝eq \f(1,3)(x－3)2＝eq \f(1,3)x2－2x＋3.
答案：y＝eq \f(1,3)x2－2x＋3
8．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝eq \f(2＋x＋2－x,2)＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
答案：[0，4]
9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－eq \f(3,2)∈[－2，3]，
所以f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f(x)max＝f(3)＝15，
所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).
(2)对称轴为x＝－eq \f(2a－1,2).
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)满足题意；
②当－eq \f(2a－1,2)>1，即a2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立．
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(5,4)，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m