专题09 几何图形的旋转变换--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

专题09 几何图形的旋转变换

知识点：（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）

（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）

题型一、求点的坐标

例1.如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（　　）

A．（4，3） B．（4，4） C．（5，3） D．（5，4）

例2.如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（　　）

A．（28，4） B．（36，0） C．（39，0） D．（，）

【变式训练1】如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，2），过点B作BA⊥y轴于点A，连接OB将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45º，得到△A’OB’，则点B的坐标为（     ）

A.    B.    C.   D.

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣2，）  B．（﹣2，2） 

C．（﹣3，2）    D．（﹣3，）

【变式训练3】如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标，底边OB在x轴上。将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A’O'B，点A的对应点A’在x轴上，则点O’的坐标为（      ）

 A.    B.    C.   D.

【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（　　）

A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．

模型二、几何图形的旋转

例1.如图1，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．

（1）求出∠ACE的度数；

（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；

（3）若将△CDE绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，说明理由．

例2.如图，正方形与正方形的边、（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、．

（1）当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：；

（2）当点在直线上时，连接，直接写出的度数；

（3）如图，如果，，，求点到的距离．

例3.在Rt△ABC中，AC⊥AB，D为内平面内一动点，CD＝a，CB＝b，其中a，b为常数，且a<b，将△ADC沿射线AB方向平移，得到△BEF，点A、C、D的对应点分别为点B、E、F，连接AF.

（1）如图，若D在△ABC内部，请在图中画出△BEF；

（2）在（1）的条件下，若CD⊥AF，求AF的长（用含a，b的式子表示）；

（3）若∠ABC＝试探究当线段AF的长度取最小值时∠ACD的大小（用含的式子表示）.

【变式训练1】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC，D是线段AB上一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90º得到线段CE，连结DE，BE.

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACD＝ ，用含的代数式表示∠DEB；

（3）若△ACD的外心在三角形的内部，请直接写出的取值范围. 

【变式训练2】阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　；

（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

【变式训练3】在中，，在中，，点、分别在、上．

（1）如图①，若，则与的数量关系是_________；

（2）若，将绕点旋转至如图②所示的位置，则与的数量关系是_________；

（3）若，将绕点旋转至如图③所示的位置，探究线段与的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）．

课后训练

1.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A（0，﹣4），C（﹣2，0），将矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，点B'恰好落在x轴上，线段B'A'与CD交于点E的坐标为（　　）

A．（﹣2，） B．（﹣2，） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，）

2.如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是　       　．

3.如图，在△ADE中，∠DAE＝80º，将△ADE绕点A顺时针旋转得△ABC，若AC平分∠DAE，则＝    ；若AC平分∠BAE，则＝           .

4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，B＝AC＝10，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15º，AD＝6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为            .

5.如图，△ABC中，∠ABC＝45º，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连结BD，将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B、D分别与点E、F对应），连结AE，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC＝3，则AE的长为                  .

6.如图，在中，，且，以为腰作等腰直角三角形,以为斜边作等腰直角三角形，连接交于点，求的度数．

7.如图1，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接，．

（1）试猜想线段和的数量关系是__________；

（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，

①判断（）中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；

②若，当取最大值时，求的值．

8.阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　；

（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

9.在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º.

（1）如图1，D、E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45º，将△ABE绕点A逆时针旋转90º后，得到△AFC，连接DF.

①求证：△AED≌△AFD；

②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；

（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长.