四川省越西中学2019-2020学年高一5月月考数学试题 Word版含解析

这是一份四川省越西中学2019-2020学年高一5月月考数学试题 Word版含解析，共16页。试卷主要包含了单项选择，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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高一下期数学第一次月考
考试范围：平面向量；考试时间：120分钟；
一、单项选择（每小题5分，共60分）
1.下列说法中错误的是（　　）
A. 零向量与任一向量平行 B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 零向量的长度为0 D. 方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】B
【解析】
【分析】
本题利用零向量的定义、向量的共线定义以及向量相等的定义即可求解.
【详解】零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大小确定为0,故A与C都是对的；
设方向相反的两个非零向量为和，满足 ，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B错；
对于D，因为向量相等的定义是：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D对.
答案选B.
【点睛】本题考查向量的相关定义，属于简单题.
2. ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量加减法运算得结果.
【详解】根据向量加法运算得，根据向量减法得,故选D
【点睛】本题考查向量加减法运算法则，考查基本化简能力
3.在平行四边形中，,,则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求,再求,即可求D坐标
【详解】，∴，则D(6,1)
故选A
【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题
4.已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求，再根据即可解出m．
【详解】∵，
∴1-2(m+1)＝0，解得m．
故选B．
【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
5.将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：(　　)
①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝· (≠0)，可得＝.
则正确的结论有(　　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
因为平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由，得，从而或，故④错误，正确的结论有 个，故选B.
6.已知，，，夹角，且与垂直，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算，再利用垂直关系得到，计算得到答案.
【详解】，，，夹角，则
与垂直


故答案选D
【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.
7.若向量，，则与的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用坐标表示出和，根据向量夹角公式直接求解即可得到结果.
【详解】由题意得：，

又
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用向量数量积和模长求解向量夹角的问题，关键是能够熟练掌握向量数量积和模长的坐标运算.

8.已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的共线定理即可求解。
【详解】由三点共线，则、共线，
所以存在不为零的实数，使得
即 ，
又因为是不共线的向量，
所以，消解得
故选：D
【点睛】本题考查平面向量共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题。
9.设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可．
【详解】由是平面内的一组基底，所以和不共线，
对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；
对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；
对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作基底；
对应选项C：与不共线，能作为基底.
故选：C．
【点睛】本题主要考查基底的定义，判断2个向量是否共线的方法，属于基础题．
10.已知向量 若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，若与的夹角为锐角θ，则有 cosθ＞0，即＞0，且与不共线．
由＞0，得32λ＞0，解得λ，
当与共线时，有=λ，
所以λ的取值范围是
故选：．
点睛：本题是一道易错题，与的夹角为锐角θ并不等价于数量积＞0，注意共线同向数量积为正，共线反向数量积为负.
11.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.
【详解】四边形是边长为2的菱形，，
可得，
则


，故选A.
【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
12.已知向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，先求，再求在方向上的投影为：，代值求出结果即可．
【详解】∵已知向量、的夹角为，，，
∴
在方向上的投影为：

故选D．
【点睛】本题考查向量的投影的求法，考查向量数量积公式的应用，属于基础题．
二、填空题（共4个小题，每个小题5分）
13.为边长为2的正三角形，则__________．
【答案】-2
【解析】
分析：利用向量数量积定义即可求出.
详解：由向量数量积定义可知，
故答案为-2
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
14.已知点，，则与向量方向相同的单位向量的坐标为____________.
【答案】
【解析】
∵点，，
∴，可得，
因此，与向量同方向的单位向量为：
故答案为：
15.已知与的夹角为求=_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得：，结合向量的运算法则和向量模的计算公式可得的值.
【详解】由题意可得：，
则：.
【点睛】本题主要考查向量模的求解，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.已知点，，直线上一点满足，则点坐标是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
设出点的坐标，根据点在直线上以及，可得之间的关系，代入坐标列方程计算即可．
【详解】解：设点坐标为，
是直线上一点，
，
又，
或，
，
或，
解得：或，
则点坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，关键是要根据题意找到和之间的关系，注意有两种情况，是基础题．
三、解答题（共6个小题，17-21题每小题12分，22题10分）
17.已知向量，点A的坐标为，向量与平行，且，求点B的坐标.
【答案】或
【解析】
【分析】
设,则,根据向量与平行，且列方程组可得到答案.
【详解】设,则,
因为向量与平行,
所以,即,①
因为,所以,②
联立①②解得或.
所以点B的坐标为或.
【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示,向量模的公式,属于基础题.
18.如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【解析】
【分析】
根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.

【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
19.设两个非零向量与不共线，
（1）若=+，=2+8，=3(-)，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k+或+k共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【详解】（1）证明：
∵=+=2+8+3(-)=5(+)，
∴=5，
∴、共线.
∵、有一个公共点B，
∴A、B、D三点共线；
（2）解：∵+与+k共线，
∴存在实数λ≠0，使k+=λ(+k)，
整理，得(k-λ)=(λk-1).
∵、不共线，
∴，
解得或，
∴k=±1.
20.已知向量，，.
（1）试将向量表示成、的线性组合；
（2）若向量（），当与的夹角为钝角时，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）且.
【解析】
【分析】
（1）设，利用向量相等，列方程组求解即可；（2）由题得，由题得，解不等式组即得解.
【详解】（1）设
所以，所以.所以.
（2）由题得，
因为与的夹角为钝角，
所以，
所以且.
【点睛】本题主要考查向量线性运算和基底法，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
21.已知向量函数，其图象的两条相邻对称轴间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到的图象，求的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据向量的数量积的坐标运算，结合二倍角和辅助角公式化简，再利用周期的运算可求出的值，即可得出函数的解析式；

（2）根据三角函数的平移伸缩过程，可求出的解析式，最后根据正弦函数单调性，即可求出的单调增区间.
【详解】解：（1）由于，



即：，
因为的图象的两条相邻对称轴间的距离为，
则，由，可得：，
所以.
（2）由于函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得：，
再将图象向右平移个单位，得，
解得：，
令，
解得：，
所以的单调递增区间为：.
【点睛】本题考查向量数量积的应用，利用降幂公式和辅助角公式化简三角函数，以及根据三角函数的图像和性质、平移伸缩求三角函数的解析式，还利用整体法求正弦型函数的单调增区间，考查转化思想和运算能力.
22.设平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若函数，求函数f(x)的最大值，并求出相应的x值．
【答案】（1）1；（2）5
【解析】
【分析】
（1）由，得到，再由余弦的倍角公式，即可求解．
（2）根据向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，化简得，再根据三角函数的性质，即可求解．
【详解】（1）由题意知，向量，即，即，
又由．
（2）因为，
故当，即时，有最大值，最大值是5．
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用去，其中熟记向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．