浙江省湖州市菱湖中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com菱湖中学2019-2020学年第二学期期中考试试卷

高一数学

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.在等比数列中，，，则公比q是　　

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，由等比数列的通项公式可得，计算即可得答案．

【详解】解：根据题意，等比数列中，，，

则，

则；

故选A．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式．

2.向量，，若，则实数的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量平行的坐标表示，即可求出．

【详解】向量，，，即

解得．故选．

【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示．

3.对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）

A.  B. a2＞b2 C. a3＞b3 D.

【答案】C

【解析】

根据题意，依次分析选项：对于A，当，时，，故A错误；对于B，当，时，，故B错误；对于C，由不等式的性质可得C正确；对于D，当，时，，故D错误；故选C.

4.在中，内角所对的边分别是．已知，，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

由已知三边，利用余弦定理可得，结合，为锐角，可得，利用三角形内角和定理即可求的值．

【详解】在中，，，，

由余弦定理可得：，

，故为锐角，可得，

，故选．

【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．

5.已知函数，若关于的不等式的解集为，则

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得，且，3为方程的两根，运用韦达定理可得，，的关系，可得的解析式，计算，（1），（4），比较可得所求大小关系．

【详解】关于的不等式的解集为，

可得，且，3为方程的两根，

可得，，即，，

，，

可得，（1），（4），

可得（4）（1），故选．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．

6.已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是　　

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，利用基本不等式得出关于a的不等式，求解即可．

【详解】解：不等式对任意的正实数x，y恒成立，

则对任意的正实数x，y恒成立，

又，

，

解得或不合题意，舍去，

，

即正实数m的最小值是4．

故选B．

【点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．

7.已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．

【详解】，；

，，；

设与的夹角为，则；

又，，故选．

【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角．

8.已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

∵等差数列，，，成等比数列，∴，

∴，∴，，故选B.

考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念

9.对任意的n∈N*，数列{an}满足且，则an等于（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

∵且，∴，，即，∴，故选A.

10.设，若不等式恒成立，则实数a取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得恒成立，讨论，，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．

【详解】恒成立，

即为恒成立，

当时，可得的最小值，

由，

当且仅当取得最小值8，即有，则；

当时，可得的最大值，

由，

当且仅当取得最大值，即有，则，

综上可得．故选．

【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力．

第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）

二、    填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．)

11.已知点，，向量，则向量____，向量____．

【答案】    (1).     (2). ；

【解析】

【分析】

由点，，向量，先求出点坐标为，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量和向量．

【详解】点，，向量，

点坐标为，向量，向量．

【点睛】本题主要考查向量的加减坐标运算．

12.在中，内角所对的边分别是．若，，，则____，____．

【答案】    (1). 1    (2).

【解析】

【分析】

由已知及正弦定理可得，即求出，利用三角形的内角和定理可求，根据余弦定理可得的值．

【详解】，由正弦定理可得：，即，

，，

又，，，

由余弦定理可得：．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用．

13.已知数列的前项和，,则_________；__________．

【答案】    (1). 1    (2).

【解析】

【分析】

令n=1即得的值，再求出数列的通项，即得的值.

【详解】令n=1即得.

由题得，适合n=1.

所以是一个以1为首项，以2为公差的等差数列.

.

故答案为(1). 1    (2).

【点睛】本题主要考查项和公式，考查等差数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14.已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|（a＞0）最小值是2，则a的值是_____，不等式f（x）≥4的解集是_____．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

，故或，解得或，而，故，故，由，即，故或或，解得或，故不等式的解集是，故答案为3，．

点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

15.已知，则的最大值是____．

【答案】4

【解析】

【分析】

利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．

【详解】，，，则

．当且仅当时，函数取得最大值．

【点睛】本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值．

16.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________

【答案】3

【解析】

分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．

详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，

∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.

点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.

17.若正实数，满足，则的最小值是__________．

【答案】

【解析】

根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.

点睛：本题主要考查了基本不等式，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.

三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

18.已知平面向量满足，且的夹角为.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求和夹角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).

【解析】

试题分析：(Ⅰ)利用模长平方与向量的平分相等，将已知两边平方展开，得到关于的方程解之即可；(Ⅱ)分别求出和模长以及数量积，利用数量积公式求夹角.

试题解析：(Ⅰ)由已知得，即，解得.

(Ⅱ)， .

又.

所以和夹角的余弦值为.

19.已知公差不为0的等差数列{an }前9项之和，且第2项，第4项，第8项成等比数列

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足 an+，求数列的前项的和．

【答案】（1）;（2）

【解析】

【分析】

（1）根据， 成等比列两个方程，求出首项和公差，求得通项公式.

（2）用分组求和法求和.

【详解】解：（1）设数列公差为，由已知有 ，

得，得,又，

解得，故，所以数列的通项公式.

（2）由（1）有 ，则

  ，

即数列的前项的和

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，等比数列的前项和公式，数列的分组

求和法.

20.已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

Ⅰ求角A的大小；

Ⅱ若，求的取值范围．

【答案】（I）；（II）.

【解析】

【分析】

Ⅰ直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出C的值．

Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步利用余弦定理和基本不等式的应用求出结果．

【详解】解：Ⅰ中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．

所以：，

整理得：，

，

由于，

所以：，

由于，

所以：．

Ⅱ由Ⅰ得：，且，

所以：，

，

由于：，

所以：，

则：，

故的取值范围为．

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

21.已知数列的前项和为，且满足，（）．

（1）求的值，并求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求（）．

【答案】（1）; （2）.

【解析】

分析】

（1）用代入法求出，再根据与的关系，得递推关系，再求出，

注意验证1时是否符合求出的通项公式.

（2）用裂项相消法求和.

【详解】解：（1）由，，令得，

令得，即.

由………………………………………①

则当时，……………………②

①②可得，得，得，

故是首项为，公比为的等比数列，

则，整理得，

当时，，也符合公式，故（）,

即数列的通项公式.

(2),

故，

即.

【点睛】本题考查了与之间的关系，根据递推公式推导通项公式，裂项相消法求和.

22.已知函数f（x）＝x2-ax＋3．

（1）当x∈[0，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

（2）设，若对任意的， 任意的，总使 f(成立，求a的取值范围．

【答案】（1）; （2）

【解析】

【分析】

（1）先分离变量，再将恒成立问题转化为求双勾函数的最小值问题.

（2）先求,的最大值，再转化成，恒成立，

再分离变量，再将恒成立问题转化为求双勾函数最小值问题.

【详解】（1）由时，恒成立，得，恒成立，

得恒成立，令 ，则，

 得，恒成立，

当时，，得.

（2）由题在递增，在递减，故当时，；

则由题可转化为，恒成立，即恒成立，

得,恒成立，又当时，，

故.

【点睛】本题考查了恒成立问题的处理方法，运用分离变量转化成求函数的最值问题，还考查了双

勾的性质，求双勾函数在区间上的最值.