浙江省宁波市咸祥中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com咸祥中学高一年级数学学科期中考试试卷

一、选择题（共10题，每题4分，共40分）

1.在△ABC中，若，则

A.  B.  C.  D. 或

【答案】A

【解析】

由正弦定理有，所以 ，，又因,故，选A.

点睛：本题主要考查了用正弦定理解三角形，属于易错题．本题运用大边对大角定理是解题的关键．

2.已知数列的通项公式为，则　　

A. 100 B. 110 C. 120 D. 130

【答案】C

【解析】

【分析】

在数列的通项公式中，令，可得的值．

【详解】数列的通项公式为，

则.

故选：C.

【点睛】本题考查已知数列通项公式，求数列的项，考查代入法求解，属于基础题．

3.在，内角所对的边分别为，且，则（   ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理求解.

【详解】由余弦定理得.

故选C

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

4.在等差数列中，，，则　　

A. 8 B. 9 C. 11 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知结合等差数列的性质即可求解的值．

【详解】在等差数列中，由，得，

又，．

故选B．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．

5.在与9之间插入2个数，使这四个数成等比数列，则插入的这2个数之积为（    ）

A  B. 6 C. 9 D. 27

【答案】D

【解析】

分析：利用等比数列的性质求插入的这2个数之积.

详解：设插入的两个数为a,b,则由等比数列的性质得.故答案为D.

点睛：（1）本题主要考查等比数列的性质的运用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.

6.已知数列，则是这个数列的第（     ）项

A. 20 B. 21 C. 22 D. 23

【答案】D

【解析】

由，得
即 ，
解得 ，
故选D

7.在中，角A，B，C所对的边分别为 (  )

A 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将 结合正弦定理化简，求得B，再由余弦定理即可求得b．

【详解】因为 ，展开得

，由正弦定理化简得

，整理得

即，而三角形中0<B<π，所以

由余弦定理可得 ，代入

解得

所以选C

【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．

8.已知等比数列.的前项和为，，且，则（    ）

A. 256 B. 255 C. 16 D. 31

【答案】D

【解析】

【分析】

由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得，令求解即可.

【详解】由，可得；

由.

两式作比可得：可得，，

所以，，，所以.

故选D.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.

9.在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

依题意，解得，由余弦定理得.

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.

10.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，

又，解得，所以，故选C．

考点：等比数列的通项公式及性质．

二、填空题（共七题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11.已知，是第四象限角，则_______，_______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

首先根据同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角和与差正余弦公式并将相应的值代入即可．

【详解】∵，是第四象限角，

∴

∴，

.

故答案为：；.

【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查两角和与差的正余弦公式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

12.已知，，则_________，_______

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

先根据诱导公式求出，再由同角三角函数的关系求出，最后再由正余弦的二倍角公式求得结果即可.

【详解】，，所以，，

，.

故答案为：；.

【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系式、正余弦的二倍角公式，考查计算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.

13.在等差数列中，，，则_______，_______.

【答案】    (1). 8    (2). 35

【解析】

【分析】

设的公差为d，由题易得，然后利用等差数列的通项公式和求和公式计算即可得解.

【详解】设的公差为d，因为，，

所以有，即，解之得：，

故，.

故答案为：8；35.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.

14.数列满足，，则_______，_______..

【答案】    (1). 2    (2). -1

【解析】

【分析】

利用赋值法可得数列为周期数列，即可得结果.

【详解】∵，，

当时，；

当时，；

当时，，

所以数列是以3为周期的周期数列，

则，.

故答案为：，.

【点睛】本题主要考查了用递推式求数列的值，得到数列的周期是解题的关键，属于中档题.

15.已知A船在灯塔C东偏北10°处，且A到C的距离为，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船的距离为，则B到C的距离为______．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理列方程求解即可.

【详解】如图，

由条件知，，

由余弦定理得 ，即 ，解得 ．

【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，属于基础题.

16.已知tan=3，则_________．

【答案】45

【解析】

【分析】

根据三角函数的基本关系式，化简原式为，代入即可求解.

【详解】由.

故答案为：45.

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，化简的表示式是解答的关键，着重考查了计算能力.

17.若等比数列满足，则公比为 ___________．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据等比数列满足，得到，两式相比求得，再求得验证即可.

【详解】因为等比数列满足，

所以，

所以或，

若，则，不成立，

故答案为：4

【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．应有文字说明、证明过程或演算步骤）

18.已知－＜x＜0，sin x＋cos x＝．

（1）求sinxcosx；    

（2）求sinx－cosx的值

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）两边平方后，根据平方关系式可得结果；

（2）根据－＜x＜0可知，再配方可解得结果.

【详解】（1）由sin x＋cos x＝两边平方得，

所以.

（2）因为－＜x＜0，所以，，

所以

【点睛】本题考查了平方关系式，考查了三角函数的符号法则，属于基础题.

19.已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，).求：

(1)cos(α－β)的值；

(2)β的值.

【答案】（1）

【解析】

【分析】

（1）利用同角的平方关系求cos(α－β)的值；（2）利用求出，再求的值.

【详解】（1）因为，

所以cos(α－β).

（2）因为cosα＝，所以，

所以

，

因为β∈(0，)，所以.

【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系求值，考查差角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

20.在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.

（1）求角B；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理得，化简得，即可得解；

（2）由条件结合余弦定理得，即可求得，再利用面积公式即可得解.

【详解】（1），，

，，即，

又 ，.

（2），，，

由余弦定理得，

即，，

的面积为.

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

21.在数列 中，，

（1）求数列 通项公式；

（2）记 ，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）直接根据等差数列的通项公式可求得结果；

（2）根据裂项求和即可求得结果.

【详解】（1）由已知得 ，即

∴ 数列是以为首项，以为公差的等差数列

∵

∴

（2）由（1）得

∴

∴

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列求和的方法：裂项求和，属于基础题.

22.已知数列满足：，.

（1）设数列满足：，求证:数列是等比数列；

（2）求出数列的通项公式和前项和.

【答案】⑴见证明；⑵

【解析】

【分析】

（1）由递推公式计算可得，且，据此可得数列是等比数列.

（2）由（1）可得，则，分组求和可得.

【详解】（1），

又

是以2为首项，2为公比的等比数列，

（2）由（1）得，，

.

【点睛】数列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．