2022高考数学一轮复习专题10 圆锥曲线中的最值的问题（解析卷）

这是一份2022高考数学一轮复习专题10 圆锥曲线中的最值的问题（解析卷），共14页。试卷主要包含了题型选讲， 与向量有关的最值问题，与坐标或参数有关的最值问题等内容，欢迎下载使用。
专题10 圆锥曲线中的最值的问题
一、题型选讲
题型一 、与线段有关的最值问题
与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
例1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
【答案】ACD
【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
故选:ACD.

例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_______，的最小值为______．
【答案】
【解析】
∵ 抛物线的焦点为F(4，0)，
∴ ，
∴ 抛物线的方程为，
设直线的方程为，设，，

由得，
∴，，
由抛物线的定义得
，
∴，
当且仅当即时，等号成立，
故答案为：．
例3（2019南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.
(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2) 若r＝.
①求证：k1k2＝－；
②求OP·OQ的最大值．

思路分析1 第(2)问，注意到直线OP，OQ与圆相切，因此，利用圆心到直线的距离等于半径可得到k1，k2与x0，y0的关系，利用点(x0，y0)在椭圆上，来求出k1k2的值．由直线OP，OQ与椭圆相交，求出交点的坐标，进而将OP·OQ表示为k1，k2的代数式，根据k1k2＝－，消去k1(或k2)后，得到关于k2(或k1)的函数，利用基本不等式或函数求最值的方法，求出OP·OQ的最大值．
思路分析2 对于第(2)问的第②小题，由点P，Q在椭圆上以及k1k2＝－，将OP，OQ表示为点P，Q的横坐标的形式，然后来求它的最值．
规范解答 (1) 因为椭圆C右焦点的坐标为(，0)，所以圆心M的坐标为，±，(2分)
从而圆M的方程为(x－)2＋y±2＝.(4分)
(2) ①因为圆M与直线OP：y＝k1x相切，所以＝，
即(4－5x)k＋10x0y0k1＋4－5y＝0，(6分)
同理，有(4－5x)k＋10x0y0k2＋4－5y＝0，
所以k1，k2是方程(4－5x)k2＋10x0y0k＋4－5y＝0的两根，(8分)
从而k1k2＝＝＝＝－.(10分)
②解法1 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立
解得x＝，y＝，(12分)
同理，x＝，y＝，
所以OP2·OQ2＝＋·＋.
由①可知，k1k2＝－，所以原式＝·＝·(14分)
≤＝，
当且仅当k1＝±时取等号. 所以OP·OQ的最大值为. (16分)
解法2 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由①知k1k2＝－，
得＝－，16yy＝xx.(*)
因为y＝1－，y＝1－代入(*)，整理得x＋x＝4.(12分)
所以OP2·OQ2＝(x＋y)·(x＋y)
＝1＋1＋(14分)
≤2＝，
当且仅当x1＝－x2＝±时取等号，
所以OP·OQ的最大值为.(16分)

题型二、 与向量有关的最值问题
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
例4、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
由题意可设，，线段中点为，且，
可得为的重心，设，，
由重心坐标公式可得，，，
即有的中点，可得，，
由题意可得点在椭圆内，可得，
由，可得，即有.
故答案为：.

例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
②求·的取值范围．


第(2)问中有两个动点，点M和点P，思路1，把点P作为主动点，点M作为被动点，故可设P(m，－2)，且m≠0，进而求出点M坐标，表示出k1，k2和·后运算即可；思路2，把点M作为主动点，点P作为被动点，故可设M(x0，y0)(x0≠0)，进而求出点P坐标，表示出k1，k2和·后运算即可．
规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，
当直线PM过椭圆的右焦点F时，
则直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1，
联立解得或(舍)，即M.(2分)
连结BF，则直线BF：＋＝1，即x＋y－＝0，
而BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为d＝＝＝.
故S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.(4分)
(2) 解法1(点P为主动点) ①设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，
则直线PM的方程为y＝－x－1，
联立化简得x2＋x＝0，
解得M，(6分)
所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，(8分)
所以k1·k2＝－·m＝－为定值．(10分)
②由①知，＝(－m，3)，＝(－－m，＋2)＝，
所以·＝(－m，3)·＝，(12分)
令m2＋4＝t>4，故·＝＝＝t－＋7，(14分)
因为y＝t－＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，
所以·＝t－＋7>4－＋7＝9，即·的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
解法2(点M为主动点) ①设点M(x0，y0)(x0≠0)，则直线PM的方程为y＝x－1，
令y＝－2，得P.(6分)
所以k1＝，k2＝＝，(8分)
所以k1·k2＝·＝＝＝－(定值)．(10分)
②由①知，＝，
＝，(12分)
所以·＝＋3(y0＋2)＝＋3(y0＋2)＝＋3(y0＋2)＝.(14分)
令t＝y0＋1∈(0，2)，
则·＝＝－t＋＋7，
因为y＝－t＋＋7在t∈(0，2)上单调递减，
所以·＝－t＋＋7>－2＋＋7＝9，即·的取值范围为(9，＋∞)．(16分)

题型三、与坐标或参数有关的最值问题
与坐标或参数有关的最值问题关键是建立目标函数，然后运用基本不等式或者求导或者通过简单的函数问题进行求解。
例6、（2019·山东高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.

（1）求的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）,； （2）存在点，且.
【解析】
（1）由题意可知，，则，
又的周长为8，所以，即，
则，.
故的方程为.
（2）假设存在点，使得为定值.
若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，
则.
若直线的斜率存在，设的方程为，
设点，，联立，得，
根据韦达定理可得：，，
由于，，
则
因为为定值，所以，
解得，故存在点，且.
例7、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．

(1)根据题意，建立关于a，c的方程组，求出a，c的值，进而确定b的值，得到椭圆的s标准方程．
(2)设出点B的坐标为(m，n)，用m，n表示x0，然后再减元转化为关于m的一元函数求求其值域．也可以设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B和P的坐标，进而求得直线BQ和PQ的方程，由两直线方程联立求得交点Q的横坐标x0，根据函数的值域求得x0的取值范围．
规范解答 (1) 由题意得＝，＋a＝6，解得a＝2，c＝1，所以b＝＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
(2) 解法1设B(m，n)，则＋＝1.
因为A(－2，0)，AB⊥BQ，所以直线BQ的方程为y＝－(x－m)＋n，因为P是AB的中点，所以P(，)，所以直线OP的方程为y＝x，联立直线BQ，OP的方程得－(x－m)＋n＝x，(8分)
解得x0＝，
由＋＝1得n2＝－(m2－4)，代入上式化简得x0＝m＋6，(14分)
因为－2