高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第6章不等式 6.3（教师版）

[基础送分 提速狂刷练]

一、选择题

1．若x＞0，则x＋的最小值是(　　)

A．2  B．4  C.  D．2

答案　D

解析　由基本不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝时取等号，故最小值是2.故选D.

2．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)

A．1＋  B．1＋  C．3  D．4

答案　C

解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.故选C.

3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．a≥  B．a＞  C．a＜  D．a≤

答案　A

解析　因为对任意x>0，≤a恒成立，

所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，

而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，

当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥.故选A.

4．在方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P(x，y)，则z＝xy的最大值为 (　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　根据题意如图所示，

要保证z最大，则P应落在第一或第三象限内，不妨设P点落在线段AB上，故z＝xy＝x(1－x)≤2＝，当且仅当x＝时，等号成立，故z的最大值为.故选C.

5．已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)

A.  B.  C．1  D．2

答案　C

解析　由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a＝1.故选C.

6．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　对于x2＋3xy－1＝0可得y＝，

∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立)．故选B.

7．已知实数a>0，b>0，且ab＝1，若不等式(x＋y)·>m，对任意的正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．[4，＋∞)   B．(－∞，1]

C．(－∞，4]   D．(－∞，4)

答案　D

解析　因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．故选D.

8．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是(　　)

A.   B.

C．2＋   D．2－

答案　A

解析　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

∴＝＝≥＝，

当且仅当n＝4时取等号．∴的最小值是.故选A.

9．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)

A．4  B.  C．8  D．9

答案　D

解析　∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，

若A，B，C三点共线，则有∥，

∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，

又a>0，b>0，

∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.

10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为(　　)

A.＋2  B.－2  C．2＋2  D．2－2

答案　B

解析　由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，

可得b2≤4ac－4a2，则≤＝，

且4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.

当t＞0时，≤＝≤

＝－2，当t＝0时，＝0，

故的最大值为－2.故选B.

二、填空题

11．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．

答案　160

解析　设底面的相邻两边长分别为x m，y m，总造价为T元，则V＝xy·1＝4⇒xy＝4.

T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160.(当且仅当x＝y时取等号)

故该容器的最低总造价是160元．

12．已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．

答案　

解析　∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，

∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]

＝≥(2＋2)＝，

当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，

∴＋的最小值为.

13．正实数a、b满足＋＝6，则4a＋5b的最小值是________．

答案　

解析　正实数a、b满足＋＝6，

令a＋2b＝m,2a＋b＝n，则正数m，n满足＋＝6，

则4a＋5b＝2m＋n＝(2m＋n)·

＝≥＝，

当且仅当＝即m＝n＝时取等号，

此时a＝b＝，故4a＋5b的最小值为.

14．已知x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋by(a，b＞0)的最大值为4，则＋的最小值为________．

答案　3＋2

解析　画区域如图，

易知目标函数在点A处取得最大值，由

解得所以2a＋2b＝4，即a＋b＝2，

所以＋＝＋＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，

当且仅当＝，即时，取等号．

故＋的最小值为3＋2.

三、解答题

15．如图，围建一个面积为100 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值．

解　(1)由题意得矩形场地的另一边长为米，

∴y＝56x＋×200＝256x＋－400(x＞0)．

(2)由(1)得y＝256x＋－400≥2－400＝6000，

当且仅当256x＝时，等号成立，

即当x＝米时，y取得最小值6000元．

16．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA，tanB是关于x的方程x2＋(1＋p)x＋p＋2＝0的两个实根，c＝4.

(1)求角C的大小：

(2)求△ABC面积的取值范围．

解　(1)由题意得tanA＋tanB＝－1－p，tanA·tanB＝p＋2，所以tan(A＋B)＝＝＝1，

故△ABC中，A＋B＝，所以C＝.

(2)由C＝，c＝4及c2＝a2＋b2－2abcosC，

可得42＝a2＋b2－2ab×，

整理得16＝a2＋b2＋ab，即16－ab＝a2＋b2，

又a>0，b>0，所以16－ab＝a2＋b2≥2ab，

得ab≤，当且仅当a＝b时取等号，

所以△ABC的面积S＝absinC＝×ab×≤××＝＝4－4，

所以△ABC面积的取值范围为(0,4－4]．