八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀练习题

八年级数学下册第二十二章四边形综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（       ）

A．对角线相等 B．对角线垂直

C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等

2、已知锐角∠AOB，如图．

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；

（3）作射线OP交CD于点Q．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　　）

A．四边形OCPD是菱形 B．CP=2QC

C．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP

3、如图，正方形的边长为，对角线、相交于点．为上的一点，且，连接并延长交于点．过点作于点，交于点，则的长为（     ）

A． B． C． D．

4、下面性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）

A．对角互补 B．邻角互补

C．对角相等 D．对角线互相平分

5、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（       ）

A．四个角相等 B．对角线互相垂直

C．对角互补 D．对角线相等

6、如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（　　　）

A．E，F，G，H是各边中点．且AC=BD时，四边形EFGH是菱形

B．E，F，G，H是各边中点．且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形

C．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH可以是平行四边形

D．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH不可能是菱形

7、如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在∠BAC内部．若，且，则∠DAE的度数为（       ）

A．12° B．24° C．39° D．45°

8、如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．16

9、在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（            ）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC

C．AB ∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC

10、下列说法错误的是（       ）

A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角

C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图， 在矩形中， 对角线，相交于点，若，，则的长为_____．

2、在菱形中，，其所对的对角线长为2，则菱形的面积是__．

3、如图，已知长方形ABCD中，AD=3cm，AB=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ADE的面积为_______cm2．

4、如图，在矩形中，的角平分线交于点，连接，恰好平分，若，则的长为______．

5、将矩形纸片ABCD（AB＜BC）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图2）：再展开纸片（如图3），则图3中∠FEG的大小是__．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若，，，求DF的长．

2、如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，求证：DC＝CF．

3、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（1）计算AC2+BC2的值等于_____；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．

4、如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．

(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）

(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）

证明：

____①____

垂直平分

，

∴____②____

____③____

∴四边形是___④_____

∴四边形是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．

5、（1）【发现证明】

如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：．小明发现，当把绕点顺时针旋转90°至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程．

（2）【类比引申】

①如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，，之间的数量关系______（不要求证明）

②如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______（不要求证明）

（3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

略

2、A

【解析】

【分析】

根据作图信息可以判断出OP平分，由此可以逐一判断即可．

【详解】

解：由作图可知，平分

∴OP垂直平分线段CD

∴∠AOP=∠BOP，CD⊥OP

故选项C，D正确；

由作图可知，

∴是等边三角形，

∴

∵OP垂直平分线段CD

∴

∴CP=2QC

故选项B正确，不符合题意；

由作图可知，,不能确定四边形OCPD是菱形，故选项A符合题意，

故选：A

【点睛】

本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．

3、C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质以及已知条件求得的长，进而证明，即可求得，勾股定理即可求得的长

【详解】

解：如图，设的交点为，

四边形是正方形

，,

，，

，,

在与中

在中，

故选C

【点睛】

本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．

【详解】

解：A、平行四边形对角不一定互补，故符合题意；

B、平行四边形邻角互补正确，故不符合题意；

C、平行四边形对角相等正确，故不符合题意．

D、平行四边形的对角线互相平分正确，故不符合题意；

故选A．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．

5、B

【解析】

略

6、D

【解析】

【分析】

当为各边中点，，，四边形是平行四边形；A中AC=BD，则，平行四边形为菱形，进而可判断正误；B中AC⊥BD，则，平行四边形为矩形，进而可判断正误；E，F，G，H不是各边中点，C中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是平行四边形，进而可判断正误；D中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是菱形，进而可判断正误．

【详解】

解：如图，连接当为各边中点时，可知分别为的中位线

∴

∴四边形是平行四边形

A中AC=BD，则，平行四边形为菱形；正确，不符合题意；

B中AC⊥BD，则，平行四边形为矩形；正确，不符合题意；

C中E，F，G，H不是各边中点，若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是平行四边形；正确，不符合题意；

D中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是菱形；错误，符合题意；

故选D．

【点睛】

本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握特殊平行四边形的判定．

7、C

【解析】

【分析】

由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，根据角的和差倍分得到，整理得 ，最后根据解题．

【详解】

解：折叠，

是矩形

故选：C．

【点睛】

本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

8、A

【解析】

【分析】

根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．

【详解】

解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，

∴BC=AD=20，

当p与B重合时，BA′=BA=12，

CA′=BC-BA′=20-12=8，

②当Q与D重合时，

由折叠得A′D=AD=20，

由勾股定理，得

CA′==16，

CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，

故选：A．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．

9、D

【解析】

略

10、C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．

【详解】

解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；

B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；

D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．

二、填空题

1、8

【解析】

【分析】

由四边形为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得，由，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得三角形为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为可得出为，在直角三角形中，根据直角三角形的两个锐角互余可得为，根据角所对的直角边等于斜边的一半，由的长可得出的长．

【详解】

解：四边形为矩形，

，，且，，

，

又，

为等边三角形，

，

在直角三角形中，，，

，

，

则．

故答案为：8．

【点睛】

此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含角直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解觉本题的关键．

2、

【解析】

【分析】

根据菱形的性质证得△ABD是等边三角形，得到OB，利用勾股定理求出OA，由菱形的性质求出菱形的面积．

【详解】

解：如图所示：

在菱形中，，其所对的对角线长为2，

，，，，

是等边三角形，

则，

故，

则，故，

则菱形的面积．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．

3、6

【解析】

【分析】

根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．

【详解】

解：将此长方形折叠，使点与点重合，

．

．

，

根据勾股定理可知：．

．

解得：．

的面积为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是注意掌握方程思想的应用．

4、

【解析】

【分析】

根据矩形的性质得，，，根据BE是的角平分线，得，则，，在中，根据勾股定理得，根据平行线的性质得，由因为EC平分则，等量代换得，所以，，即可得．

【详解】

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴，，，

∵，BE是的角平分线，

∴，

∴，

在中，根据勾股定理得，

，

∵，

∴，

∵EC平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．

5、22.5°

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可知，∠A=∠EFB=90°，AB=BF，以及纸片ABCD为矩形可得，∠AEF为直角，进而可以判断四边形ABFE为正方形，进而通过∠AEB，∠BEG的角度计算出∠FEG的大小．

【详解】

解：由折叠可知△AEB≌△FEB，

∴∠A=∠EFB=90°，AB=BF，

∵纸片ABCD为矩形，

∴AE∥BF，

∴∠AEF=180°－∠BFE=90°，

∵AB=BF，∠A=∠AEF=∠EFB=90°，

∴四边形ABFE为正方形，

∴∠AEB=45°，

∴∠BED=180°－45°=135°，

∴∠BEG=135°÷2=67.5°，

∴∠FEG=67.5°－45°=22.5°．

【点睛】

本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，以及平行的相关性质，能够将正方形与矩形的性质相结合是解决本题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；

（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．

(1)

∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，

∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为矩形．

(2)

∵四边形AEFD为矩形，

∴AF＝DE＝4，DF=AE，

∵，，，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，

∴，

∴AE=，

∴．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

2、见解析

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质可得∠BAE＝∠CFE，根据中点的定义可得EB＝EC，利用AAS可证明△ABE≌△FCE，可得AB＝CF，进而可得结论．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠CFE；

∵E为BC中点，

∴EB＝EC，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB＝CF，

∴DC＝CF．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

3、     11     见解析

【解析】

【分析】

（1）直接利用勾股定理求出即可；

（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．

【详解】

解：（1）AC2+BC2＝（）2+32＝11；

故答案为：11；

（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；

延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，

【点睛】

本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．

4、 (1)见解析

(2)①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【解析】

【分析】

（1）分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

（2）：根据，内错角相等得出∠2①，根据垂直平分       ，得出，，可证②△EOC，根据全等三角形性质得出OF③，再证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形④，根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）．

(1)

解：分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

如图所示

(2)

证明：，

∠2①，

垂直平分       ，

，，

∴②△EOC，

OF③，

，

，

，

∴四边形是平行四边形④，

，

∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），

故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【点睛】

本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．

5、（1）见解析；（2）①不成立，结论：；②，见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）证明，可得出，则结论得证；

（2）①将绕点顺时针旋转至根据可证明，可得，则结论得证；②将绕点逆时针旋转至，证明，可得出，则结论得证；

（3）求出，设，则，，在中，得出关于的方程，解出则可得解．

【详解】

（1）证明：把绕点顺时针旋转至，如图1，

，，，

，

，，三点共线，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）①不成立，结论：；

证明：如图2，将绕点顺时针旋转至，

，，，，

，

，

，

；

②如图3，将绕点逆时针旋转至，

，，

，

，

，

，

，

，

．

即．

故答案为：．

（3）解：由（1）可知，

正方形的边长为6，

，

．

，

，

设，则，，

在中，

，

，

解得：．

，

．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．