初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品精练

八年级数学下册第二十二章四边形综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列命题中，是真命题的是（       ）．A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点

B．满足的三个数，，是勾股数

C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形

D．五边形的内角和为

2、如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）

A．8 B．7 C．6 D．7.5

3、下列说法错误的是（       ）

A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角

C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴

4、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（　　　）

A．20 B．40 C．60 D．80

5、下列说法不正确的是（       ）

A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角

B．四边形的内角和与外角和相等

C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条

D．全等三角形的周长相等，面积也相等

6、如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在∠BAC内部．若，且，则∠DAE的度数为（       ）

A．12° B．24° C．39° D．45°

7、已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（     ）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

8、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（       ）

A．四个角相等 B．对角线互相垂直

C．对角互补 D．对角线相等

9、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（     ）

A．测量三个角是否都是直角 B．测量对角线是否互相平分

C．测量两组对边是否分别相等 D．测量一组对角是否是直角

10、下列命题中是真命题的是（       ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角为直角的四边形是矩形

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为______．

2、若一个多边形的内角和是外角和的倍，则它的边数是_______．

3、长方形纸片按图中方式折叠，其中为折痕，如果折叠后在一条直线上，那么的大小是________度．

4、如图，在中，∠ACB＝90°，DEBC，DE＝AC，若AC＝2， AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四个结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠ABE＝；③AB＝；④点F是AD中点，点G、H分别是线段BC、AB上的动点，则FG＋GH的最小值为．正确的是_____．（填序号）

5、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于F点，连接，过点D作于点G．

(1)求证：四边形是平行四边形：

(2)若．

①当___________时，四边形是矩形；

②若四边形是菱形，则________．

2、如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．

3、已知：△ABC，AD为BC边上的中线，点M为AD上一动点（不与点A重合），过点M作ME∥AB，过点C作CE∥AD，连接AE．

(1)如图1，当点M与点D重合时，求证：①△ABM≌△EMC；②四边形ABME是平行四边形

(2)如图2，当点M不与点D重合时，试判断四边形ABME还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；

(3)如图3，延长BM交AC于点N，若点M为AD的中点，求的值．

4、如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)直接写出点的坐标____________________；

(2)求、两点的坐标．

5、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)求证：四边形AECF是矩形．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

正确的命题是真命题，根据定义解答．

【详解】

解：A. 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，故该项不符合题意；

B. 满足的三个正整数，，是勾股数，故该项不符合题意；

C. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故该项不符合题意；

D. 五边形的内角和为，故该项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题考查了真命题的定义，正确掌握三角形外心的定义，勾股数的定义，中点四边形的判定定理及多边形内角和的计算公式是解题的关键．

2、A

【解析】

【分析】

已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得BC的长．

【详解】

是的中位线，，

，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．

【详解】

解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；

B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；

D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据菱形的面积公式求解即可．

【详解】

解：这个菱形的面积＝×10×8＝40．

故选：B．

【点睛】

本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．

【详解】

∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，

∴A不符合题意；

∵四边形的内角和与外角和都是360°，

∴四边形的内角和与外角和相等，正确，

∴B不符合题意；

∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，

∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，

∴C符合题意；

∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，

∴D不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，根据角的和差倍分得到，整理得 ，最后根据解题．

【详解】

解：折叠，

是矩形

故选：C．

【点睛】

本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

7、B

【解析】

【分析】

先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．

【详解】

解：∵E是AC中点，

∴AE=EC，

∵DE=EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AD=DB，AE=EC，

∴DE=BC，

∴DF=BC，

∵CA=CB，

∴AC=DF，

∴四边形ADCF是矩形；

故选：B．

【点睛】

本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．

8、B

【解析】

略

9、A

【解析】

【分析】

根据矩形的判定方法解题．

【详解】

解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，

选项A符合题意；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，

选项B不符合题意，

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

选项C不符合题意；

D、一组对角是直角的四边形不是矩形，

选项D不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

10、A

【解析】

【分析】

根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．

【详解】

解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；

C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；

D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．

二、填空题

1、##

【解析】

【分析】

证明，根据全等三角形的性质得到，，根据翻折变换的性质用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

【详解】

解：四边形是矩形，

，，，

由折叠的性质可知，

，，，

在和中，

，

，

，，

，

设，则，，

，，

根据勾股定理得：，

即，

解得：，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．

2、

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n−2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，

根据题意得，（n−2）•180°＝2×360°，

解得n＝6．

答：这个多边形的边数是6．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．

3、90

【解析】

【分析】

根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，利用平角，计算∠2+∠3的度数即可．

【详解】

如图，根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°，

∴∠2+∠3=90°，

∴=90°，

故答案为：90．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，两个角的和，熟练掌握折叠的性质，灵活运用两个角的和是解题的关键．

4、①③④

【解析】

【分析】

证明，结合DE＝AC，可判定结论①；假设∠ABE＝，在中，根据勾股定理得到，则假设不成立，可判断结论②；在中和中，利用勾股定理可求出AB的值，即可判断结论③；作点F关于BC对称的点F’，作于点H，与BC相交于点G，则，，根据“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”可知，此时FG＋GH有最小值．通过勾股定理分别求得FG、GH的值，相加即可判断结论④．

【详解】

解：∵∠ACB＝90°，DEBC，

∴∠CDE＝∠ACB＝90°，

∴

又∵DE＝AC，

∴四边形ACED是平行四边形；故结论①正确．

∵AD＝DB＝4，∠ADC＝30°，

∴∠ABC＝∠DAB＝，

假设∠ABE＝，则，

∴在中，，

∴，

∴假设不成立；故结论②错误．

在中，，，

∴，

∴

∴在中，，，

∴，

即AB＝；故结论③正确．

如图所示，作点F关于BC对称的点F’，作于点H，与BC相交于点G，则，，根据“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”可知，此时FG＋GH有最小值．

连接AG，与BC相交于点M，

∵，∠ABC＝，

∴，

∴，

∵四边形ACED是平行四边形，

∴，

∴，

∴

又∵点F是AD中点，点F与点F’关于BC对称，AD＝4，

∴，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，，

∴，

又∵∠DAB＝，

∴，

∴在中，，

∵点F是AD中点，点F与点F’关于BC对称，,

∴，,

∴，

∵，

∴，

∴在中，，

∴，

即FG＋GH的最小值为；故结论④正确．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用．其中涉及平行线的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，“一定两动”求线段最小值等问题．综合性较强．

5、49

【解析】

【分析】

延长FE交AB于点M，则，，由正方形的性质得，推出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出CM，故得出BC，由正方形的面积公式即可得出答案．

【详解】

如图，延长FE交AB于点M，则，，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

在中，，

∴，

∴．

故答案为：49．

【点睛】

本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析；

(2)①3；②

【解析】

【分析】

（1）根据三角形中位线的性质得到DEAB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；

（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=AB，由四边形是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3；

②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．

(1)

证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DEAB，BD=CD，

∵，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴AF=BD=CD，

∴四边形是平行四边形；

(2)

解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE=AB，

∵四边形是平行四边形，

∴DF=2DE=AB=3，

∵四边形是矩形,

∴AC=DF=3，

故答案为：3；

②∵四边形是菱形，

∴DF⊥AC，

∵DEAB，

∴AB⊥AC，

∴AD=BC=2.5，

∴AE=EC=2，

∵

∴

∴，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

连接AC，CF，如图，根据正方形的性质得到AC=，AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，则利用勾股定理得到AF=，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．

【详解】

解：连接AC、CF，如图，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴AC=AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，

∴∠ACF=45°+45°=90°，

在Rt△ACF中，

∵T为AF的中点，

∴，

∴CT的长为．

【点睛】

本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．

3、 (1)①见解析；②见解析

(2)是，见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）①根据DE∥AB，得出∠EDC＝∠ABM，根据CE∥AM，∠ECD＝∠ADB，根据AM是△ABC的中线，且D与M重合，得出BD＝DC，再证△ABD≌△EDC（ASA）即可；

②由①得△ABD≌△EDC，得出AB＝ED，根据AB∥ED，即可得出结论．

（2）如图，设延长BM交EC于点F，过M作ML∥DC交CF于L，先证四边形MDCL为平行四边形，得出ML=DC=BD，可证△BMD≌△MFL（AAS），再证△ABM≌△EMF（ASA），可证四边形ABME是平行四边形；

（3）过点D作DG∥BN交AC于点G，根据M为AD的中点，DG∥MN，得出MN为三角形中位线MN＝DG，根据D为BC的中点，得出DG＝BN，可得MN＝BN，可求即可．

(1)

证明：①∵DE∥AB，

∴∠EDC＝∠ABM，

∵CE∥AM，

∴∠ECD＝∠ADB，

∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，

∴BD＝DC，

在△ABD与△EDC中，

，

∴△ABD≌△EDC（ASA），

即△ABM≌△EMC；

②由①得△ABD≌△EDC，

∴AB＝ED，

∵AB∥ED，

∴四边形ABDE是平行四边形；

(2)

成立．理由如下：

如图，设延长BM交EC于点F，过M作ML∥DC交CF于L，

∵AD∥EC，ML∥DC，

∴四边形MDCL为平行四边形，

∴ML=DC=BD，

∵ML∥DC，

∴∠FML=∠MBD，  

∵AD∥EC，

∴∠BMD=∠MFL，∠AMB=∠EFM,

在△BMD和△MFL中

，

∴△BMD≌△MFL（AAS），

∴BM=MF ,

∵AB∥ME，

∴∠ABM=∠EMF，

在△ABM和△EMF中，

∴△ABM≌△EMF（ASA），

∴AB＝EM，

∵AB∥EM，

∴四边形ABME是平行四边形；

(3)

解：过点D作DG∥BN交AC于点G，

∵M为AD的中点，DG∥MN，

∴MN＝DG，

∵D为BC的中点，

∴DG＝BN，

∴MN＝BN，

∴，

由（2）知四边形ABME为平行四边形，

∴BM＝AE，

∴．

【点睛】

本题考查三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质，掌握三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质是解题关键．

4、 (1)(10，8)

(2)D(0，5)，E(4，8)

【解析】

【分析】

（1）根据，，可得点的坐标；

（2）根据折叠的性质，可得AE=AO，OD=ED，根据勾股定理，可得EB的长，根据线段的和差，可得CE的长，可得E点坐标；再根据勾股定理，可得OD的长，可得D点坐标；

(1)

解：∵，，

∴点的坐标(10，8)，

故答案为：(10，8)；

(2)

解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=OC=8，

由勾股定理，得BE= =6，

CE=BC-BE=10-6=4，E(4，8)．

在Rt△DCE中，由勾股定理，得DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD，CD=8-OD，

(8-OD)2+42=OD2，

解得OD=5，D(0，5)．

所以D(0，5)，E(4，8)；

【点睛】

本题主要考查了、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．

5、 (1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证；

（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证．

(1)

证明：四边形是平行四边形，

，

，

，

在和中，，

．

(2)

证明：，

，

四边形是平行四边形，

，

，

在四边形中，，

四边形是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．