初中数学第二十二章 四边形综合与测试精品同步练习题

八年级数学下册第二十二章四边形综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（       ）

A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD

2、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且，AF、BE相交于点G，下列结论中正确的是（       ）

①；②；③；④．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

3、六边形对角线的条数共有（       ）

A．9 B．18 C．27 D．54

4、如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，C为线段OB上一点，过点C作轴交l于点D，若的顶点E恰好落在直线上，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

5、下列说法不正确的是（　　）

A．矩形的对角线相等

B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．菱形的对角线互相垂直

6、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7、下列说法错误的是（       ）

A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角

C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴

8、下列命题是真命题的有（　　）个．

①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．

A．1 B．2 C．3 D．4

9、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（       ）

A． B．8 C． D．

10、一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是（       ）

A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、矩形的两边长分别为3 cm和4 cm，则矩形的对角线长为_____．

2、若一个多边形的内角和是外角和的倍，则它的边数是_______．

3、（1）平行四边形的对边________．

几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝________，AD＝________．　

（2）平行四边形的对角________．

几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A＝________，∠B＝________．

4、添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 _____．

5、平行四边形的判定方法：

（1）两组对边分别______的四边形是平行四边形

（2）两组对边分别______的四边形是平行四边形

（3）两组对角分别______的四边形是平行四边形

（4）对角线______的四边形是平行四边形

（5）一组对边______的四边形是平行四边形

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．

求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．

请回答：在你的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是　 　．

2、如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形，点C在小正方形顶点上；

(2)在（1）的条件下确定点C后，再画出矩形BCDE，D，E都在小正方形顶点上，且矩形BCDE的周长为16，直接写出EA的长为　   　．

3、如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．

4、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．

(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；

(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．

5、已知正方形与正方形，，．

(1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、的代数式表示）．

(2)如图2，若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、的代数式表示）．

(3)如图3，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、、的代数式表示）．

(4)如图4，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在的延长线上，连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、、的代数式表示）．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

略

2、B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

在与中，

，

∴，

∴，①正确；

∵，

，

∴，

∴，

∴，②正确；

∵GF与BG的数量关系不清楚，

∴无法得AG与GE的数量关系，③错误；

∵，

∴，

∴，

即，④正确；

综上可得：①②④正确，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键．

3、A

【解析】

【分析】

n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数），由此可得出答案．

【详解】

解：六边形的对角线的条数= =9．

故选：A．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）．

4、D

【解析】

【分析】

设点 ，根据轴，可得点 ，再根据平行四边形的性质可得点轴， ，则， ，即可求解．

【详解】

解：设点 ，

∵轴，

∴点 ，

∵四边形是平行四边形，

∴轴， ，

∴点 ，

∴ ，

∵直线分别交y轴于B两点，

∴当 时， ，

∴点 ，

∴ ，

∴，解得： ，

∴ ，

∴点 ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解．

【详解】

解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；

对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；

菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．

6、D

【解析】

【分析】

如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．

【详解】

解：如图，过点作于点，连接，

由题意知

∴四边形为平行四边形

∵

∴四边形为矩形

∴

∵

∴

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

①∵，

∴为等腰直角三角形

∴

，

∴

∴四边形是平行四边形

∴

∴

故①正确；

②∵

∴四边形为矩形

∴四边形的周长

故②正确；

③四边形为矩形

∵在和中

∵

∴

∴

∴

故③正确；

④∵

当最小时，最小

∴当时，即时，的最小值等于

故④正确；

⑤在和中，，

∴

故⑤正确；

⑥如图1，延长与交于点

∵在和中

∵

∴

∴

∵

∴

∴

故⑥正确；

综上，①②③④⑤⑥正确，

故选：．

【点睛】

本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．

7、C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．

【详解】

解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；

B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；

D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．

【详解】

解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；

②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；

③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；

④四条边都相等的四边形是菱形，正确；

⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．

故选：B．

【点睛】

此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．

9、A

【解析】

【分析】

由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．

【详解】

解：连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，

在Rt△AOD中，AD==13，

又∵E是边AD的中点，

∴OE=AD=×13=6.5，

∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，

∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，

∴四边形EFOG为矩形，

∴FG=OE=6.5．

故选：A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．

【详解】

解：∵多边形的每个内角都等于150°，

∴多边形的每个外角都等于180°-150°=30°，

∴边数n=360°÷30°=12，

故选：D．

【点睛】

本题考查多边形的内角和、外角来求多边形的边数，属于基础题，熟练掌握多边形中内角和定理公式是解决本类题的关键．

二、填空题

1、5cm

【解析】

略

2、

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n−2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，

根据题意得，（n−2）•180°＝2×360°，

解得n＝6．

答：这个多边形的边数是6．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．

3、     相等     CD     BC     相等     ∠C     ∠D

【解析】

略

4、或或或或

【解析】

【分析】

根据有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形即可得出答案．

【详解】

解：根据有一组邻边相等的矩形是正方形得：这个条件可能是或或或，

根据对角线互相垂直的矩形是正方形得：这个条件可能是，

故答案为：或或或或．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形与矩形之间的关系是解题关键．

5、     平行     相等     相等     互相平分     平行且相等

【解析】

略

三、解答题

1、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．

【解析】

【分析】

根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．

【详解】

解：如图，四边形AECF即为所求作．

理由：四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥CF，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分线段AC，

∴OA=OC，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EA=EC或AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．

故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

2、 (1)见解析

(2)画图见解析，

【解析】

【分析】

（1）作出腰为5且∠ABC是钝角的等腰三角形ABC即可；

（2）作出边长分别为5，3的矩形ABDE即可．

(1)

解：如图，AB==BC，∠ABC>90°，所以△ABC即为所求；

(2)

解：如图，矩形BCDE即为所求．AE= ．

故答案为：．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

3、

【解析】

【分析】

连接AC，CF，如图，根据正方形的性质得到AC=，AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，则利用勾股定理得到AF=，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．

【详解】

解：连接AC、CF，如图，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴AC=AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，

∴∠ACF=45°+45°=90°，

在Rt△ACF中，

∵T为AF的中点，

∴，

∴CT的长为．

【点睛】

本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．

4、 (1)

(2)，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;

（2）方法同（1）．

(1)

解：如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点, ，，

,，

，，

,，

，

在中，，

(2)

，理由如下，

如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点,，

,，

，

,，

，

在中，，

即

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．

5、 (1)

(2)

(3)

(4)