2021学年第二十二章 四边形综合与测试优秀课时训练

八年级数学下册第二十二章四边形专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（       ）

A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm

2、下列命题中，是真命题的是（       ）．A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点

B．满足的三个数，，是勾股数

C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形

D．五边形的内角和为

3、如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4、如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．12

5、下列命题不正确的是（       ）

A．三边对应相等的两三角形全等

B．若，则

C．有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形

D．的三边为a、b、c，若，则是直角三角形．

6、如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（       ）

A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)

7、如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

8、如图，四边形中，，对角线，相交于点，于点，于点，连接，，若，则下列结论：

①；

②；

③四边形是平行四边形；

④图中共有四对全等三角形．

其中正确结论的个数是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

9、如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，，，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（       ）

A． B． C． D．

10、已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（     ）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知平行四边形ABCD的周长是30，若AB＝10，则BC＝________．

2、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是_______．

3、在任意△ABC中，取AB、AC边中点D、E，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的______．

一个三角形有______条中位线．

4、两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．

5、如图， 在矩形中， 对角线，相交于点，若，，则的长为_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．

(1)请证明“射影定理”中的结论③．

(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．

①求证：．

②若，求的长．

2、已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．

(1)求证：AF＝CG；

(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

3、如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．

4、已知：线段m．

求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．

5、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，

∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，

∴AC＝8cm，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∴OE＝AC＝4cm，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

正确的命题是真命题，根据定义解答．

【详解】

解：A. 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，故该项不符合题意；

B. 满足的三个正整数，，是勾股数，故该项不符合题意；

C. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故该项不符合题意；

D. 五边形的内角和为，故该项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题考查了真命题的定义，正确掌握三角形外心的定义，勾股数的定义，中点四边形的判定定理及多边形内角和的计算公式是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∴，

∵AE平分，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．

【详解】

解：四边形为菱形，

，，，

，

,

∴,

∴,

∴

故选：．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定定理（定理）、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．

【详解】

解：A、三边对应相等的两三角形全等，此命题正确，不符题意；

B、若，则，此命题正确，不符题意；

C、有一组对边平行、另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以此项命题不正确，符合题意；

D、的三边为、、，若，即，则是直角三角形，此命题正确，不符题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握各定理是解题关键．

6、B

【解析】

【分析】

分别过点和点作轴于点，作轴于点，根据菱形的性质以及中位线的性质求得点的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D坐标

【详解】

如图，分别过点和点作轴于点，作轴于点，

∴，

∵四边形为菱形，

∴点为的中点，

∴点为的中点，

∴，，

∵，

∴；

由题意知菱形绕点逆时针旋转度数为：，

∴菱形绕点逆时针旋转周，

∴点绕点逆时针旋转周，

∵，

∴旋转60秒时点的坐标为．

故选B

【点睛】

根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．

7、A

【解析】

【分析】

如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，然后求得∠OCE=30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE，最后运用勾股定理求得CE即可解答.

【详解】

解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，

∵菱形OABC，

∴OC=OA=4

∵，

∴∠OCE=30°

∵OC=4

∴OE=2

∴CE=

∴点C的坐标为.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键.

8、B

【解析】

【分析】

由DE=BF以及DF=BE，可证明Rt△DCF≌Rt△BAE，由FC=EA，以及双垂直可证，四边形CFAE是平行四边形由此可证明②③正确．

【详解】

解：，

，

在和中，

，

，

，（故①正确）；

于点，于点，

，

，

四边形是平行四边形，

，（故②正确）；

，

，

，

，

四边形是平行四边形，（故③正确）；

由以上可得出：，，，

，，，等．（故④错误），

故正确的有3个，

故选：．

【点评】

此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．

9、A

【解析】

【分析】

取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得，，可得EH＝6，，由勾股定理可求PE的长．

【详解】

解：如图，取OD的中点H，连接HP

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6

∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点

∴OH=3，OE=3，，

∴EH＝6，

在中，由勾股定理可得：

∴

故选：A

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．

【详解】

解：∵E是AC中点，

∴AE=EC，

∵DE=EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AD=DB，AE=EC，

∴DE=BC，

∴DF=BC，

∵CA=CB，

∴AC=DF，

∴四边形ADCF是矩形；

故选：B．

【点睛】

本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．

二、填空题

1、5

【解析】

略

2、

【解析】

【分析】

要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．

【详解】

解：如图，连接AE，PA，

∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，

∴点C关于BD的对称点为点A，

∴PE+PC=PE+AP，

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，

∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，

∴BE=2，

∴AE=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．

3、     中位线     3

【解析】

略

4、平行

【解析】

略

5、8

【解析】

【分析】

由四边形为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得，由，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得三角形为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为可得出为，在直角三角形中，根据直角三角形的两个锐角互余可得为，根据角所对的直角边等于斜边的一半，由的长可得出的长．

【详解】

解：四边形为矩形，

，，且，，

，

又，

为等边三角形，

，

在直角三角形中，，，

，

，

则．

故答案为：8．

【点睛】

此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含角直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解觉本题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析；

(2)①见解析；②．

【解析】

【分析】

（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；

（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；

②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．

(1)

证明：

(2)

①四边形ABCD是正方形

②在中，

在，

．

【点睛】

本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

2、 (1)见解析

(2)当AD=AB时，四边形BEDH是正方形

【解析】

【分析】

（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；

（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，

∴∠AEF=∠CHG，

∵BE=2AB，DH=2CD，

∴BE=DH，

∴BE-AB=DH-DC，

∴AE=CH，

∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，

∴∠EAF=∠GCH，

∴△EAF≌△HCG(ASA)，

∴AF=CG；

(2)

解：当AD=AB时，四边形BEDH是正方形；

理由：∵BE∥DH，BE=DH，

∴四边形EBHD是平行四边形，

∵EH⊥BD，

∴四边形EBHD是菱形，

∴ED=EB=2AB，

当AE2+DE2=AD2时，则∠BED=90°，

∴四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2，

∴AD=AB，

∴当AD=AB时，四边形BEDH是正方形．

．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．

3、

【解析】

【分析】

连接AC，CF，如图，根据正方形的性质得到AC=，AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，则利用勾股定理得到AF=，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．

【详解】

解：连接AC、CF，如图，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴AC=AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，

∴∠ACF=45°+45°=90°，

在Rt△ACF中，

∵T为AF的中点，

∴，

∴CT的长为．

【点睛】

本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．

4、见详解

【解析】

【分析】

先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．

【详解】

解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，

以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，

过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，

则四边形ABCD为所求作矩形；

∵AD∥BC，CD∥AB，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵BC⊥AB，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AB=，AC=m，

∴矩形的宽与对角线满足条件，

∴四边形ABCD为所求作矩形．

【点睛】

本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．

5、10cm

【解析】

【分析】

根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．

【详解】

解：∵∠BOC＝120°，

∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝5cm，

∴OA＝OB＝AB＝5cm，

∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

【点睛】

本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．