冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀当堂达标检测题

九年级数学下册第三十章二次函数同步训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0

C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0

2、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

3、根据表格对应值：

判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（       ）

A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定

4、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）

A． B． C． D．

5、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（       ）

A．① B．② C．③ D．②③

6、下列函数中，二次函数是（       ）

A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）

C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝

7、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（       ）

A． B． C． D．

8、二次函数的最大值是（   ）

A． B． C．1 D．2

9、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．当时，随的增大而增大

C．

D．是一元二次方程的一个根

10、一次函数与二次函数的图象交点（　　）

A．只有一个 B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．

2、这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段图文，则被墨迹污染的二次函数的二次项系数为______．由图像知，当x＝﹣1时二次函数y＝■x2＋6x﹣5有最小值．

3、如图，函数的图象过点和，下列判断：

①；

②；

③；

④和处的函数值相等．

其中正确的是__（只填序号）．

4、如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______．

5、已知二次函数，若，则y的取值范围是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．

(1)求c的值；

(2)计算铅球距离地面的最大高度．

2、某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．

(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

①求出当4≤x≤8时的函数关系式；

②求出当8＜x≤28时的函数关系式．

(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；

(3)求出年利润的最大值．

3、如图，直线和抛物线都经过点，．

(1)求m，n的值．

(2)求不等式的解集（直接写出答案）

4、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y轴交于点C．

(1)求证：b＝0；

(2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．

①当a＝﹣1时，求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）

②求的值．

5、已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

(1)求该二次函数的表达式；

(2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有一个交点，

∴Δ=0，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．

2、B

【解析】

【分析】

根据增长率问题的计算公式解答．

【详解】

解：第2年的销售量为，

第3年的销售量为，

故选：B．

【点睛】

此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．

【详解】

解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，

当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，

∵0.84＜2＜2.29，

∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，

故选：B

【点睛】

本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．

4、C

【解析】

【分析】

把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．

【详解】

解：点，，都在函数的图象上，

，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

5、B

【解析】

【分析】

把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．

【详解】

解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，

当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，

∵△=4-4×（-3）＞0，

∴有两个不相等的值，

∴点M的个数为2，故①错误；

当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，

∵△=4-4×1=0，

∴a有两个相同的值，

∴点M的个数为1，故②正确；

当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，

∵△=4-4×3＜0，

∴点M的个数为0，故③错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义逐个判断即可．

【详解】

解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

B．是二次函数，故本选项符合题意；

C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；

D．不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．

7、B

【解析】

【分析】

由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．

【详解】

解：由题意知，平移后的抛物线解析式为

将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；

将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．

8、D

【解析】

【分析】

由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．

【详解】

解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值

∴将代入中得

∴最大值为2

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．

9、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．

【详解】

解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；

B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；

C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；

D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，

设另一交点为，

，

，

另一交点坐标是，

是一元二次方程的一个根，

故本选项结论正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．

【详解】

解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：

整理得：

有两个不相等的实数根

与的图象交点有两个

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），

其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，

得到的抛物线解析式为

即

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．

2、

【解析】

【分析】

由图象可得：抛物线的对称轴为： 再利用抛物线的对称轴公式建立方程求解即可.

【详解】

解：由图象可得：抛物线的对称轴为：

而

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的对称轴方程求解未知系数的值”是解本题的关键.

3、①③④

【解析】

【分析】

根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据、的符号得出，即可得到，根据时，得到，即可得到，即可判断②；根据抛物线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．

【详解】

解：抛物线开口向下，

，

抛物线交轴于正半轴，

，

，

，

，故①正确，

，，

，

，

时，，则，

，

，故②错误，

的图象过点和，

方程的根为，，

方程的根为，

，

，故③正确；

的图象过点和，

抛物线的对称轴为直线，

，

和处的函数值相等，故④正确，

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；△决定抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．

4、或## 或

【解析】

【分析】

根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围．

【详解】

如图所示，抛物线与直线的交点为，，

∴当时，或．

故答案为：或．

【点睛】

此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．

5、

【解析】

【分析】

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．

【详解】

解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，抛物线开口向上，

∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，

∵-1≤x≤4，2-（-1）=3，4-2=2，

∴当x=-1时y取得最大值，当x=2时，y取得最小值，

当x=-1时，y=6，当x=2时，y=-3，

∴y的取值范围是-3≤y≤6，

故答案为：-3≤y≤6．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

三、解答题

1、 (1)；

(2)铅球距离地面的最大高度为

【解析】

【分析】

（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；

（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．

(1)

把（10，0）代入函数解析式中得：

解得：

(2)

当x＝﹣时，y最大＝

所以铅球距离地面的最大高度为3m．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．

2、 (1)①y＝；②y＝－x+28

(2)

(3)年利润最大为114元

【解析】

【分析】

（1）①当4≤x≤8时，设（k≠0）.将点A（4，40）的坐标代入计算即可；

②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，计算即可；

（2）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；

（3）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，分别求出w的最大值，进而求解；

(1)

①当4≤x≤8时，设（k≠0）.

将点A（4，40）的坐标代入，得k＝4×40＝160，

∴y＝

②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）.

分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，得解得

∴y＝－x +28

(2)

当4≤x≤8时，w＝

当8＜x≤28时，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112

＝－(x－16)2+114

综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为

(3)

当4≤x≤8时，

∵－640＜0，

∴w随x增大而增大，

∴当x＝8时，w有最大值，为

当8＜x≤28时，

∵－1＜0

∴当x＝16时，w有最大值，为114

∵80＜114

∴当每件的销售价格定为16元时，年利润最大为114元

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．

3、 (1)m=-1，n=2

(2)x＜1或x＞3

【解析】

【分析】

（1）将点A坐标代入y=x+m可得m的值，然后把B点坐标代入直线y=x+m中求出n的值即可；

（2）根据函数图象可知不等式的解集即为二次函数的函数图像在一次函数的函数图像上方自变量的取值范围，进行求解即可．

(1)

解：将点A(1，0)代入y=x+m可得1+m=0，

解得：m=-1，

∴直线AB的解析式为y=x-1，

∵点B（3，n）在直线y=x-1上，

∴n=3-1=2；

(2)

由函数图象可知不等式的解集即为二次函数的函数图像在一次函数的函数图像上方自变量的取值范围，

∴不等式的解集为x＜1或x＞3．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数函数值，利用图像法解一元二次不等式，熟知相关知识是解题的关键．

4、 (1)见解析

(2)①2；②2．

【解析】

【分析】

（1）利用根与系数的关系即可证明b=0；

（2）①设出P点坐标，然后令c=t²，然后表示出A、B的坐标，先求出直线BP的解析式，即可得到直线AQ的解析式，然后联立抛物线与直线AQ解析式，求出Q点横坐标，即可求解；②同①的方法，令a=-s²，c=t²，设出P点坐标，分别求出D、E的坐标，代入计算即可求解．

(1)

解：设方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，且OA＝OB，

∴x1=-x2，即x1+x2=0，

∵x1+x2=-，

∴-=0，

∵a＜0，

∴b=0；

(2)

解：①当a=﹣1时，令c=t2，抛物线的解析式为y=-x2+t2，

解方程-x2+t2=0，得：x1=t，x2=-t，

∴A(-t，0)，B(t，0)，

设点P的坐标为(p，-p2+ t2)，

设直线PB的解析式为y=kx+m，

∴，解得：，

∴直线PB的解析式为y=x+，

∵AQ∥BP，  

设直线AQ的解析式为y=x+n，

把A(-t，0)代入得：n=

∴直线AQ的解析式为y=，

联立y=和y=-x2+ t2得：，

整理得：，

解得x1=-t，x2=p+2t，

∴点Q的横坐标为p+2t，

∴Q，P两点横坐标的差为p+2t-p=2t=2；

②令c=t2，a=-s²，抛物线的解析式为y=-s²x2+t2，

解方程-s²x2+t2=0，得：x1=，x2=-，

∴A(-，0)，B(，0)，C(0，t2)，

设点P的坐标为(p，-s²p2+ t2)，

同理求得直线PB的解析式为y=x+，

直线AQ的解析式为y=，

令x=0，则y=，  

即点E的坐标为(0，)，

同理求得直线AP的解析式为y=，

令x=0，则y=，

即点D的坐标为(0，)，

∴OD=，OE=，OC=，

∴．

．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．

5、 (1)二次函数的表达式为： ；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定；

（2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式．

(1)

解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，

设二次函数的表达式为，

把代入得，

，

∴，

∴，

即 ；

(2)

解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同，

设二次函数的表达式为，

在y轴上且在函数图象上，

将其代入函数表达式为：，

解得：，

∴关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键．