2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第二章函数导数及其应用第十一节第2课时导数与函数的极值最值

这是一份2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第二章函数导数及其应用第十一节第2课时导数与函数的极值最值，共43页。PPT课件主要包含了f′x＜0，f′x＞0，连续不断，－10等内容，欢迎下载使用。

1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点：若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值____，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧__________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧_____________，右侧_________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的____．②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中____的一个是最大值，____的一个是最小值．
端点处的函数值f(a)，f(b)
1．注意两种条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．分清极值与最值的关系(1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
(2)若函数f(x)的图象连续，则f(x)在[a，b]内一定有最值．(3)若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(4)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．
1．(基础知识：极值与导数的关系)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个 B．2个C．3个 D．4个
3．(基本能力：极小值点)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________．答案：2
4．(基本方法：极值与最值的关系)函数y＝xex的最小值是________．
5．(基本应用：利用导数求极大值)现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
解析：由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时， f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
类型 2　求已知函数的极值[例2]　已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
类型 3　已知极值点求参数[例3]　(1)(2020·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋a ln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，－1)
2．判断极值点的个数首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点．3．根据函数极值情况求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：求解后验证根的合理性．
[题组突破]1．(2021·河北冀州中学模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．
解析：若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1，0).
2．已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R).讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数．
方法总结1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值．　　
[对点训练]设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R).(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k＝1时，求f(x)在[0，2]上的最值．
解析：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2).由f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ln 2＞0.由f′(x)＞0，得x＜0或x＞ln 2.由f′(x)＜0，得0＜x＜ln 2.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(ln 2，＋∞)，单调减区间为(0，ln 2).
(2)由(1)可知x＝0和x＝ln 2是f(x)的极值点，且0∈[0，2]，ln 2∈[0，2]，f(0)＝－1，f(ln 2)＝(ln 2－1)·eln 2－(ln 2)2＝2(ln 2－1)－(ln 2)2，由(1)可知f(0)＝f(1)＝－1，在(ln 2，＋∞)上f(x)为增函数，∴f(2)＞f(1)＞f(ln 2)，∴f(x)的最大值为f(2)＝e2－4.f(x)的最小值为f(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)2.
(2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＋b＝________．
2．(2021·重庆一中10月模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x(a∈R).若f(x)在x＝1处取极小值，求实数a的取值范围．