2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性

这是一份2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性，共60页。PPT课件主要包含了函数的奇偶性，存在一个最小，答案1，答案00等内容，欢迎下载使用。

f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
3．奇偶性的六个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
5．函数对称性问题的结论：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
2．(基础知识：奇函数定义)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(－1)＝________．答案：1－e
3．(基本应用：奇偶性应用)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，则a＝________．答案：1
4．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)·g(x)是奇函数，故选项A错误；对于选项B，|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故选项B错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，故选项C正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故选项D错误．
方法总结 1．函数y＝f(x)具有奇偶性，首先其定义域必须关于原点对称，这样f(x)与f(－x)才有意义．2．对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数，必居其一．
3．判定奇偶性的方法：(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：(3)性质法：利用奇偶性的运算关系．　　
方法总结1．若函数的最小正周期为T，在图象上表现为每隔T单位，图象相同，只是位置不同，在函数值上表现为f(x＋T)＝f(x).当x不属于所给定区间时，利用f(x＋T)＝f(x)将f(x)转化，故首先确定f(x)的周期T.　　
2．求函数周期的方法：
2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．答案：7
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．
解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图所示，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.
[典例剖析]类型 1　求函数解析式[例1]　设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋1)，则函数f(x)在[1，2]上的解析式是________________．解析：令x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝lg2(－x＋1)，令x∈[1，2]，则x－2∈[－1，0]，故f(x)＝lg2[－(x－2)＋1]＝lg2(3－x)，故函数f(x)在[1，2]上的解析式是f(x)＝lg2(3－x).答案：f(x)＝lg2(3－x)
方法总结在哪个区间上求解析式，就设x在哪个区间上，利用奇偶性或周期性关系，将x变到已知区间上，再代入解析式进行转化．　　
类型 2　求函数值[例2]　(1)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1).若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝(　　)A．0 B．2C．3 D．4
解析：y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，∴函数f(x)是偶函数，对于f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，则f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.
方法总结挖掘函数性质，综合应用，将所求函数值转化：根据周期性，将f(x)转化为f(x＋T)；根据奇偶性，将f(x)转化为±f(－x)；根据关于直线x＝a对称，将f(x)转化为f(2a－x)；根据关于(a，b)对称，将f(x)转化为2b－f(2a－x)；对于f(f(x))型采用换元法，设t＝f(x).　　
类型 3　求参数[例3]　(1)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，∴(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，∴a＝－1.答案：－1
(2)若函数f(x)＝x ln (x＋)为偶函数，则a＝__________．答案：1
方法总结利用奇偶性求参数，一般利用奇偶性定义：f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)恒成立建立所有参数的方程，也可采用特殊值法，如奇函数(x∈R)时，f(0)＝0.　　
类型4　解不等式、比较大小[例4]　(1)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)＞0的解集为(　　)A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
解析：∵f(－x)＝|－x|(10－x－10x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(10x－10－x)为增函数，∴f(x)在R上是递增函数，故f(1－2x)＋f(3)＞0⇒f(1－2x)＞－f(3)＝f(－3)，所以1－2x＞－3，解得x＜2.
(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x＋4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　)A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：∵f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)，∴f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)的周期为8，∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)＝f(－1＋4)＝－f(－1)＝f(1).又∵奇函数f(x)在区间[0，2]上是增函数，∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数，∴f(－25)＜f(80)＜f(11).
方法总结 此类问题是先利用性质将原问题转化为形如“f(x)＞f(y)”型，再根据单调性去“f”，得到x与y的大小关系，同时考虑函数的定义域．　　
[题组突破]1．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln (1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝(　　)A．－x3－ln (1－x) B．x3＋ln (1－x)C．x3－ln (1－x) D．－x3＋ln (1－x)解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln (1－x).∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln (1－x)]＝x3－ln (1－x).
2．已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)A．3 B．0C．－1 D．－2解析：设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，所以f(－a)＝0.
解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，∴T＝2.又f(－5)＝f(4.5)，∴f(－1)＝f(0.5)，∴－1＋a＝1.5，∴a＝2.5.
解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
7．(母题变式)将例4(1)的函数变为f(x)＝10x＋10－x，求不等式f(1－2x)－f(3)＞0的解集．解析：f(x)＝10x＋10－x，f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)为增函数，原不等式可化为f(1－2x)＞f(3)，得|1－2x|＞3，得1－2x＞3或1－2x＜－3，∴x＞2或x＜－1.∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>2}．
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1解析：当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知ƒ(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x)＝ƒ(1＋x).若ƒ(1)＝2，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝(　　)A．－50 B．0C．2 D．50
解析：∵ƒ(x)是奇函数，∴ƒ(－x)＝－ƒ(x)，∴ƒ(1－x)＝－ƒ(x－1).由ƒ(1－x)＝ƒ(1＋x)，∴－ƒ(x－1)＝ƒ(x＋1)，∴ƒ(x＋2)＝－ƒ(x)，∴ƒ(x＋4)＝－ƒ(x＋2)＝－[－ƒ(x)]＝ƒ(x)，∴函数ƒ(x)是周期为4的周期函数．
由ƒ(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x)＝ƒ(1＋x)，∴ƒ(x)的图象关于直线x＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.