高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.2(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.2(教师版)，共10页。

A级
一、选择题
1．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，
则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)，故m＝2或－3.故选C.
2．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
答案 B
解析 ∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，
∴eq \f(m,－4)×eq \f(2,5)＝－1，∴m＝10，
直线mx＋4y－2＝0即5x＋2y－1＝0，垂足(1，p)代入得，
5＋2p－1＝0，∴p＝－2.
把P(1，－2)代入2x－5y＋n＝0，可得n＝－12，
∴m－n＋p＝20，故选B.
3．过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
答案 A
解析 要使过点(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO垂直．由kOP＝eq \f(2－0,1－0)＝2，则直线l的斜率为－eq \f(1,2)，所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，即为x＋2y－5＝0.故选A.
4．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》 一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是( )
A．(－4,0) B．(0，－4)
C．(4,0) D．(4,0)或(－4,0)
答案 A
解析 当顶点C的坐标是(－4,0)时，三角形重心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)))，在欧拉线上，对于其他选项，三角形重心都不在欧拉线上．故选A.
5．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
答案 C
解析 设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))
∴BC所在直线方程为y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，
即3x＋y－10＝0.与y＝2x联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4)．故选C.
6．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA·x＋ay＋c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
答案 C
解析 由正弦定理，得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB).
∵两直线的斜率分别为k1＝－eq \f(sinA,a)，k2＝eq \f(b,sinB)，
∴k1·k2＝－eq \f(sinA,a)·eq \f(b,sinB)＝－1，∴两直线垂直．故选C.
7．已知两点A(－m,0)和B(2＋m,0)(m>0)，若在直线l：x＋eq \r(3)y－9＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,4)
C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 C
解析 设P(x，y)，则kPA＝eq \f(y,x＋m)，kPB＝eq \f(y,x－2－m)，
由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(3)y－9＝0，,\f(y,x＋m)·\f(y,x－2－m)＝－1，))
消去x得4y2－16eq \r(3)y＋63－m2－2m＝0，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝－16\r(3)2－4×4×63－m2－2m≥0，))
解得m≥3.故选C.
8．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为( )
A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0
答案 A
解析 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9))).
∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，
即4x－3y＋9＝0.故选A.
9．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,4)
C．1 D．9
答案 B
解析 因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又因为Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，
所以eq \r(4－12＋－m2)＝3，解得m＝0.所以a＋c＝2，
则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)＝eq \f(1,2)(a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2\r(\f(c,2a)·\f(2a,c))))＝eq \f(9,4)，
当且仅当c＝2a＝eq \f(4,3)时取等号，故选B.
10．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－ln x，01))图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 A
解析 设l1是y＝－ln x(01)的切线，切点P2(x2，y2)，
l1：y－y1＝－eq \f(1,x1)(x－x1)，① l2：y－y2＝eq \f(1,x2)(x－x2)，②
①－②得xP＝eq \f(y1－y2＋2,\f(1,x1)＋\f(1,x2))，易知A(0，y1＋1)，B(0，y2－1)，
∵l1⊥l2，∴－eq \f(1,x1)·eq \f(1,x2)＝－1，∴x1x2＝1，
∴S△PAB＝eq \f(1,2)|AB|·|xP|＝eq \f(1,2)|y1－y2＋2|·eq \f(|y1－y2＋2|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2))))＝eq \f(1,2)·eq \f(y1－y2＋22,\f(x1＋x2,x1x2))
＝eq \f(1,2)·eq \f(－ln x1－ln x2＋22,x1＋x2)＝eq \f(1,2)·eq \f([－ln x1x2＋2]2,x1＋x2)＝eq \f(1,2)·eq \f(4,x1＋x2)＝eq \f(2,x1＋x2)，
又∵01，x1x2＝1，
∴x1＋x2>2eq \r(x1x2)＝2，∴0二、填空题
11．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
解析 设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
12．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
答案 －eq \f(1,3)或－eq \f(7,9)
解析 由题意及点到直线的距离公式，得
eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9).
13．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为eq \r(2)，则直线l的方程为________．
答案 y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0
解析 当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为eq \r(2)，得eq \f(|k－3|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为eq \r(2)，得eq \f(|4－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
14．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是________．
答案 6x－8y＋1＝0
解析 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.
∴b＝3－4k＋b，解得k＝eq \f(3,4).∴直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，直线l1为y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(11,4)＋b，取直线l上的一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，b＋\f(3m,4)))，则点P关于点(2,3)的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－m，6－b－\f(3,4)m))，∴6－b－eq \f(3,4)m＝eq \f(3,4)(4－m)＋b＋eq \f(11,4)，
解得b＝eq \f(1,8).∴直线l的方程是y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,8)，即6x－8y＋1＝0.
B级
三、解答题
15．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝8，))故A′(－2,8)．
P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))故所求的点P的坐标为(－2，3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝10，))
故所求的点P的坐标为(12,10)．
16．如图所示，函数f(x)＝x＋eq \f(\r(2),x)的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.
(1)证明：|PM|·|PN|为定值；
(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
解 (1)证明：设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，x0＋\f(\r(2),x0)))(x0>0)，则|PN|＝x0，
|PM|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),x0))),\r(2))＝eq \f(1,x0)，因此|PM|·|PN|＝1，即|PM|·|PN|为定值．
(2)直线PM的方程为y－x0－eq \f(\r(2),x0)＝－(x－x0)，
即y＝－x＋2x0＋eq \f(\r(2),x0)，解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y＝－x＋2x0＋\f(\r(2),x0)，))
得x＝y＝x0＋eq \f(1,\r(2)x0).所以|OM|＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,\r(2)x0))).连接OP，
S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝eq \f(1,2)|PN||ON|＋eq \f(1,2)|PM||OM|
＝eq \f(1,2)x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(\r(2),x0)))＋eq \f(1,2)·eq \f(1,x0)·eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,\r(2)x0)))＝eq \r(2)＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋\f(1,x\\al(2,0))))≥1＋eq \r(2)，
当且仅当x0＝eq \f(1,x0)，即x0＝1时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为1＋eq \r(2).
17．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解 (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝eq \f(4,3)(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k2≠0，
即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝eq \f(a,b)，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即eq \f(a,b)(1－a)＝－1.①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②联立，解得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在且l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，
k1＝k2，即eq \f(a,b)＝1－a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)＝b，④
联立③④，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))
∴a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2.
18．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴eq \f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，解得λ＝2或λ＝eq \f(1,2).
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2,1)．
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝eq \r(10).