2021-2022学年山东省烟台市蓬莱区七年级（上）期末数学试卷（五四学制） 解析版

这是一份2021-2022学年山东省烟台市蓬莱区七年级（上）期末数学试卷（五四学制） 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数为无理数的是（ ）
①﹣3.14159；②2.5；③2π；④；⑤．
A．①②③B．②③④C．①④⑤D．③④
2．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．81的平方根是9B．的算术平方根是4
C．与﹣相等D．64的立方根是±4
3．（3分）已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（﹣m，﹣m+1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是（ ）
A．﹣2B．8C．2或8D．﹣2或8
6．（3分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
7．（3分）已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在一次函数y＝kx﹣1（k＜0）的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
8．（3分）如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（0，1）B．（2，1）C．（1，0）D．（1，﹣1）
9．（3分）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能：
：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
：将荧幕显示的数变成它的倒数；
：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（ ）
A．B．10C．D．
10．（3分）如图，已知△ABC≌△AEF，其中AB＝AE，∠B＝∠E．在下列结论①AC＝AF，②∠BAF＝∠B，③EF＝BC，④∠BAE＝∠CAF中，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（3分）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．③④
12．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中变量x与y的部分对应值如下表
下列结论：
①y随x的增大而减小；②点（6，﹣6）一定在函数y＝kx+b的图象上；
③当x＞3时，y＞0；④当x＜2时，（k﹣1）x+b＜0．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）﹣27的立方根与的平方根的和是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，正方形ABDE的面积为100，则正方形ACFG的面积为 ．
15．（3分）如果+3是一次函数，则m的值是 ．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则∠B′A′D＝ ．
17．（3分）过点（﹣1，﹣3）且与直线y＝1﹣2x平行的直线是 ．
18．（3分）如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0，0），B点坐标（8，0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
三、解答题（本题共7个小题，满分66分）
19．（8分）（1）计算；
（2）已知y＝，求（x+y）2021的立方根．
20．（9分）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）
21．（9分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示，根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 升．
（2）进水时y与x之间的关系式是 ．
（3）已知洗衣机的排水速度是每分钟18升，如果排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机中剩下的水量是 升．
22．（9分）如图，点A是x轴上左侧的一点，点B（2，m）在第一象限，直线BA交y轴于点C（0，2），S△AOB＝6．
（1）求S△COB；
（2）求点A的坐标及m的值．
23．（10分）如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由．
24．（10分）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）若小亮一年内来此游泳馆的次数为15次，选择哪种方式比较划算？
（3）若小亮计划拿出1400元用于在此游泳馆游泳，采用哪种付费方式更划算？
25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），直线AB与y轴的交点为C，动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB对应的函数表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
2021-2022学年山东省烟台市蓬莱区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列各数为无理数的是（ ）
①﹣3.14159；②2.5；③2π；④；⑤．
A．①②③B．②③④C．①④⑤D．③④
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣3.14159，2.5是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数，
2π；是无理数，
故选：D．
2．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．81的平方根是9B．的算术平方根是4
C．与﹣相等D．64的立方根是±4
【分析】A：根据正数有两个平方根，它们互为相反数来判断；
B：先求的值，再求它的算术平方根；
C：根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数来判断；
D：正数的立方根是正数．
【解答】解：A：81的平方根是±9，∴不符合题意；
B：的算术平方根是2，∴不符合题意；
C：与﹣相等，∴符合题意；
D：64的立方根是4，∴不符合题意；
故选：C．
3．（3分）已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（﹣m，﹣m+1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据y轴的负半轴上点的横坐标等于零，纵坐标小于零，可得m的值，根据不等式的性质，可得到答案．
【解答】解：由点P（0，m）在y轴的负半轴上，得
m＜0．
由不等式的性质，得
﹣m＞0，﹣m+1＞1，
则点M（﹣m，﹣m+1）在第一象限，
故选：A．
4．（3分）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出k的取值范围，再判断出1﹣k及k﹣1的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵式子+（k﹣1）0有意义，
∴，解得k＞1，
∴1﹣k＜0，k﹣1＞0，
∴一次函数y＝（1﹣k）x+k﹣1的图象过一、二、四象限．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是（ ）
A．﹣2B．8C．2或8D．﹣2或8
【分析】由点M，N点的坐标结合MN＝5，可得出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，
∴|y﹣3|＝5，
解得：y＝8或y＝﹣2．
故选：D．
6．（3分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
7．（3分）已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在一次函数y＝kx﹣1（k＜0）的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1中，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2＜1，
∴y1＞y2．
故选：A．
8．（3分）如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（0，1）B．（2，1）C．（1，0）D．（1，﹣1）
【分析】先根据左眼和右眼所在位置点的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置所在点的坐标即可．
【解答】解：如图，
嘴的位置可以表示成（1，0）．
故选：C．
9．（3分）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能：
：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
：将荧幕显示的数变成它的倒数；
：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（ ）
A．B．10C．D．
【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得．
【解答】解：由题意知第1步结果为102＝100，
第2步结果为＝0.01，
第3步结果为＝0.1，
第4步结果为0.12＝0.01，
第5步结果为＝100，
第6步计算结果为10，
……
∴运算的结果以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为周期循环，
∵2019÷6＝336……3，
∴第2019步之后显示的结果为0.1，即．
故选：C．
10．（3分）如图，已知△ABC≌△AEF，其中AB＝AE，∠B＝∠E．在下列结论①AC＝AF，②∠BAF＝∠B，③EF＝BC，④∠BAE＝∠CAF中，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正确；
∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；
∵AF≠BF，
∴∠BAF≠∠B，故②错误；
综上所述，结论正确的是①③④共3个．
故选：C．
11．（3分）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．③④
【分析】①由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°，MN是AB的中垂线知AD＝BD，∠ABD＝∠A＝36°，所以∠DBC＝36°①正确．
②由①和∠ABC＝72°，可得∠ABD＝36，所以∠ABD＝∠CBD，所以线段BD是△ACB的角平分线，三角形的角平分线是线段，不是射线，②错误．
③由①知，DA＝BD，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC，③正确．
④由①知∠AMD＝90°，而△BCD为锐角三角形，所以④错误．
【解答】解：由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠C＝∠CDB＝72°，
∴△CDB是等腰三角形，
∴①正确，
又∵∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝36°，
∴线段BD是△ACB的角平分线，
∵三角形的角平分线是线段，
∴②错误，
由AD＝BD，AB＝AC知，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC，
∴③正确，
∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，
∴④错误，
∴正确的为：①③．
故选：B．
12．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中变量x与y的部分对应值如下表
下列结论：
①y随x的增大而减小；②点（6，﹣6）一定在函数y＝kx+b的图象上；
③当x＞3时，y＞0；④当x＜2时，（k﹣1）x+b＜0．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可．
【解答】解：由题意得，当x＝1时，y＝4，当x＝0时，y＝6，
则，
解得：，
函数解析式为：y＝﹣2x+6，
①∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，正确；
②当x＝6时，y＝﹣2×6+6＝﹣6，
∴点（6，﹣6）一定在函数y＝kx+b的图象上，正确；
③由表格得出当x＞3时，y＜0，故错误；
④由表格得出当x＜2时，kx+b＞x，
∴（k﹣1）x+b＞0，故错误；
故选：C．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）﹣27的立方根与的平方根的和是 0或﹣6 ．
【分析】分别利用平方根、立方根的定义求解即可．解题注意＝9，所以求的算术平方根就是求9的平方根．
【解答】解：∵﹣27的立方根是﹣3，的平方根是±3，
所以它们的和为0或﹣6．
故答案为：0或﹣6．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，正方形ABDE的面积为100，则正方形ACFG的面积为 64 ．
【分析】由正方形ABDE的面积为100得直角三角形的斜边是10．再根据勾股定理得AC＝8，从而可得正方形ACFG的面积．
【解答】解：因为S正方形ABDE＝AB2＝100，
在Rt△ABC中，BC＝6，
所以S正方形ACFG＝AC2＝AB2﹣BC2＝64．
故答案为：64．
15．（3分）如果+3是一次函数，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】根据一次函数的定义解答．
【解答】解：∵+3是一次函数，
∴2﹣m2＝1且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则∠B′A′D＝ 60° ．
【分析】根据折叠的性质可得：∠A＝∠EA′D＝90°，∠ADE＝∠A′DE，∠B＝EB′A′＝90°，∠BEA′＝B′EA′，再根据直角三角形的性质可得，∠BA′E+BEA′＝90°，∠A′DE+∠A′ED＝90°可得∠BA′E＝∠A′DE，再根据直角三角形的性质和平角的性质可得∠BA′E+∠DA′C＝90°，∠DA′C+∠CDA′＝90°，即可得出∠CDA′＝∠A′DE＝∠ADE，即可算出∠A′DE的度数，再根据直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：根据折叠的性质可得：
∠A＝∠EA′D＝90°，∠ADE＝∠A′DE，∠B＝EB′A′＝90°，∠BEA′＝B′EA′，
∵∠BA′E+BEA′＝90°，∠A′DE+∠A′ED＝90°，
∴∠BA′E＝∠A′DE，
又∵∠BA′E+∠DA′C＝90°，∠DA′C+∠CDA′＝90°，
∴∠BAE′＝∠CDA′，
∴∠CDA′＝∠A′DE＝∠ADE，
∴∠CDA′+∠A′DE+∠ADE＝90°，
∴∠A′DE＝30°，
∴∠B′A′D＝90°﹣∠A′DE＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60°．
17．（3分）过点（﹣1，﹣3）且与直线y＝1﹣2x平行的直线是 y＝﹣2x﹣5 ．
【分析】设所求的直线为y＝kx+b，根据两直线平行的问题得到k＝﹣2，然后把点（﹣1，﹣3）代入y＝﹣2x+b求出b即可．
【解答】解：设所求的直线为y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b与直线y＝1﹣2x平行，
∴k＝﹣2，
把点（﹣1，﹣3）代入y＝﹣2x+b得2+b＝﹣3，解得b＝﹣5，
∴所求的直线为y＝﹣2x﹣5．
故答案为y＝﹣2x﹣5．
18．（3分）如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0，0），B点坐标（8，0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝＝5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案是：2．
三、解答题（本题共7个小题，满分66分）
19．（8分）（1）计算；
（2）已知y＝，求（x+y）2021的立方根．
【分析】（1）化简算术平方根，立方根，绝对值，然后再算加减；
（2）利用二次根式有意义的条件列不等式组确定x的值，从而求得y的值，然后代入求值，并利用立方根的概念求解．
【解答】解：（1）原式＝﹣（﹣）+
＝++
＝；
（2）由题意可得，
解得：x＝2，
∴y＝﹣3＝﹣3，
∴原式＝（﹣3+2）2021
＝﹣1，
﹣1的立方根为﹣1，
∴（x+y）2021的立方根为﹣1．
20．（9分）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即点C到AB的距离，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即点C到AB的距离，
在△ABC中，∵AC＝24，CB＝18，AB＝30，
∴AC2+CB2＝242+182＝900，AB2＝302＝900，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，
∵S△ABC＝AC•BC＝CE•AB，
∴AC•BC＝CE•AB，即24×18＝CE×30，
∴CE＝14.4≈14，
答：点C到AB的距离约为14cm．
21．（9分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示，根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是 4 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 40 升．
（2）进水时y与x之间的关系式是 y＝10x（0≤x≤4） ．
（3）已知洗衣机的排水速度是每分钟18升，如果排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机中剩下的水量是 4 升．
【分析】（1）根据函数图象可以得到洗衣机的进水时间和清洗时洗衣机中的水量；
（2）根据函数图象中的数据可以得到进水时y与x之间的关系式；
（3）根据题意，可以得到排水结束时洗衣机中的水量．
【解答】解：（1）由图象可得，
洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升，
故答案为：4，40；
（2）设进水时y与x之间的关系式是y＝kx，
4k＝40，得k＝10，
即进水时y与x之间的关系式是y＝10x，
故答案为：y＝10x（0≤x≤4）；
（3）排水结束时洗衣机中剩下的水量是：40﹣18×2＝40﹣36＝4（升），
故答案为：4．
22．（9分）如图，点A是x轴上左侧的一点，点B（2，m）在第一象限，直线BA交y轴于点C（0，2），S△AOB＝6．
（1）求S△COB；
（2）求点A的坐标及m的值．
【分析】（1）根据三角形面积公式求解；
（2）先计算出S△AOC＝4，利用三角形面积公式得OA•2＝4，解得OA＝4，则A点坐标为（﹣4，0）；再利用待定系数法求直线AC的解析式，然后把B（2，m）代入可求出m的值．
【解答】解：（1）∵点B（2，m），点C（0，2），
∴S△COB＝×2×2＝2；
（2）∵S△AOB＝6，S△COB＝2，
∴S△AOC＝6﹣2＝4，
∴OA•OC＝4，即OA•2＝4，解得OA＝4，
∴A点坐标为（﹣4，0）；
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，2）代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
把B （2，m）代入得m＝1+2＝3．
23．（10分）如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 AE＝BD ，位置关系是 AE⊥BD ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由．
【分析】（1）延长AE交BD于H．证明△ACE≌△BCD即可；
（2）延长AE交BD于H，交BC于O，只要证明△ACE≌△BCD，即可证明（1）中的结论还成立．
【解答】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD，
∴AE＝BD，AE⊥BD，（1）中的结论还成立．
24．（10分）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）若小亮一年内来此游泳馆的次数为15次，选择哪种方式比较划算？
（3）若小亮计划拿出1400元用于在此游泳馆游泳，采用哪种付费方式更划算？
【分析】（1）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）将x＝15代入（1）中函数关系式，求出相应的函数值，然后比较大小即可解答本题；
（3）将y＝1400代入（1）中的函数关系式，求出相应的x的值，即可得到小亮计划拿出1400元用于在此游泳馆游泳，采用哪种付费方式更划算．
【解答】解：（1）当游泳次数为x时，
方式一费用为：y1＝30x+200，
方式二的费用为：y2＝40x；
（2）若小亮来此游泳馆的次数为15次，
方式一的费用为：30×15+200＝650（元），
方式二的费用为：40×15＝600（元），
∵650＞650，
∴若小亮一年内来此游泳馆的次数为15次，选择方式比二较划算；
（3）当y1＝1400时，即1400＝30x+200，得x＝40，
当y2＝1400时，即1400＝4x，得x＝35，
故采用方式一更划算．
25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），直线AB与y轴的交点为C，动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB对应的函数表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）求出C点坐标，再由三角形面积公式求解即可；
（3）由面积求出M点横坐标为±1，再分两种情况确定M点坐标：当M点在线段OA上，当M点在射线AC上时．
【解答】解：（1）设AB的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6；
（2）令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵点A（4，2），
∴点A到OC的距离为4
∴S△OAC＝×6×4＝12；
（3）存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的，理由如下：
设直线OA的解析式为y＝kx，
∴4k＝2，
∴k＝，
∴y＝x，
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴S△OMC＝12×＝3，
设M点的横坐标为x，
∴×6×|x|＝3，
∴|x|＝1，
∴x＝±1，
当M点在线段OA上时，M（1，）；
当M点在射线AC上时，M（1，5）或M（﹣1，7）；
综上所述：M点坐标为（1，）或（1，5）或（﹣1，7）．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
6
4
2
0
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
6
4
2
0
…