黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学（含答案）练习题
展开2021年黑龙江省普通高中学业水平考试
数学试题
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
- 与直线垂直的直线的倾斜角为
A． B． C． D．
- 抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
- 若椭圆的离心率为，短轴长为，则椭圆的焦距为
A． B． C． D．
- 已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
- 已知数列的通项公式为，则的值是
A． B． C． D．
- 已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则
A． B． C． D．与的取值有关
- 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
- 已知椭圆的焦距为，左焦点为，右顶点为，若抛物线与椭圆交于，两点，且四边形是菱形，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
- 已知圆的方程为，若动抛物线过点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
- 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为
A． B． C． D．
- 已知平面内两点到直线的距离分别是，则满足条件的直线的条数为
A． B． C． D．
- 已知点分别为抛物线的顶点和焦点，直线与抛物线交于两点，连接并延长，分别交抛物线的准线于点，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
- 已知数列中，为前项和，且，，则.
- 著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为，则的离心率为.
- 设集合，
，记，则点集所表示的轨迹长度为.
- 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为.
三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
- （本小题满分10分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值．
- （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在中，求边上的高线所在的直线方程；
（2）求的面积．
- （本小题满分12分）
已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．
（1）求圆的标准方程；
（2）设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
- （本小题满分12分）
设椭圆的焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）如图所示，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，
求椭圆的标准方程．
- （本小题满分12分）
已知抛物线上一点到其焦点的距离为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点作圆的两条切线，，分别交抛物线于
，两点，求证：直线与圆相切．
- （本小题满分12分）
已知椭圆，离心率，焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相切于点，过点作关于原点的对称点，过点作，垂足为，求面积的最大值．
期中考试
高二 数学试题 参考答案
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
解（1）当时，；
当时，．
经检验，时，，也适合上式．
．
（2）由，且.
当或8时，取得最小值．
解（1）∵，，所以直线的斜率，
∴边上的高线的斜率为，
∵边上的高线过点，
∴边上的高线所在的直线方程为即.
（2）∵，，所以，
直线的方程为：即，
点到直线：距离，
∴的面积为.
解（1）由题意，过点的直径所在直线方程为，即．
联立，解得，
∴圆心坐标为，半径，
∴圆的方程为；
（2），要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，
此时的最大值为；
∵，
∴所在直线方程为，即，
联立，得或，
即的坐标为或，
当时，的方程为，即；
当时，的方程为，即．
综上所述，所在直线方程为或．
解（Ⅰ）过点的直线方程为，
∴原点到直线的距离，
由，得，解得离心率.
（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直，设其直线方程为，
联立，得.
设，则，.
由，得，解得.从而.
于是.
由，得，解得.
故椭圆的方程为.
21、解（1）抛物线的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，
联立消去，整理得，
则，即，所以，则，即
设方程为，同理可得，
∵，均与圆相切，
∴到直线的距离，
∴，分别为此方程的两根，则，则
∴直线的方程为
∴到直线距离为
∴直线与圆相切．
22、解（1）∵离心率，焦点.-
∴，
∴
∴椭圆C的方程
（2）设，，过O作ON垂直直线L，由对称性可知
显然直线的斜率存在且不为0
设直线，
联立，
由得，得，则
联立直线方程
∴
∴
∴
∴面积的最大值为1，当且仅当时成立.
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