高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征导学案

7.3.2 离散型随机变量的方差

学习目标

1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.

2.会求离散型随机变量的方差、标准差.

3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.

重点难点

重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求解

难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.

知识梳理

1.离散型随机变量取值的方差

一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：

则称

为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).

称为随机变量X的标准差。

2、离散型随机变量ξ的期望与方差的性质

学习过程

一、    问题探究

随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.

探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？

探究2：怎样定量到留离散型随机变量取值的离散程度?

问题1.某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？

问题2.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？

问题3：方差的计算可以简化吗？

问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？

二、典例解析

例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。

方差的计算方法

方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).

跟踪训练1 已知η的分布列为

(1)求η的方差及标准差;

(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).

例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示：

表1

表2

（1）投资哪种股票的期望收益大？

（2）投资哪种股票的风险较高？

利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤

1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.

2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.

3.下结论.依据均值和方差做出结论.

跟踪训练2. A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析， X1和X2的分布列分别为

求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元， Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)；

(2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？       

达标检测

1．给出下列四个命题：

①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；

②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；

③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；

④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．

则正确命题应该是(　　)

A．①④　 B．②③ C．①②   D．③④

2．把下面X的分布列填写完整：并完成问题

其中p∈(0,1)，则E(X)＝________，D(X)＝________.

3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=　　　　　,b=　　　　　. 

4.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下,

甲保护区:

乙保护区:

试评定这两个保护区的管理水平.

参考答案

知识梳理

学习过程

一、    问题探究

探究1： E(X)= 8 ;E(Y)=8   

因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。

表1

表2

射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：

发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。

探究2：我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的,一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢?

问题1.

问题2.

反映这组数据相对于平均值的集中程度的量

因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:

因为D(Y)<D(X)(等价地，  ) ，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。

问题3：

问题4： 离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)= D(X)

 而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即D(aX)=a2D(X)

因此，D(aX+b)=a2D(X).

二、典例解析

例1：

跟踪训练1 解:(1)∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16,

D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×

+(60-16)2×=384,

∴=8.

(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536.

例2： 解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为

           E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,

           E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.

           因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。

（2)股票A和股票B投资收益的方差分别为

             D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,

             D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.

因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。

跟踪训练2. 解：(1)题目可知，投资项目A和B所获得的利润Y1和Y2的分布列为：

所以;

;

解：(2) 由(1)可知，说明投资A项目比投资B项目期望收益要高；

同时，说明投资A项目比投资B项目的实际收益相对于期望收益的平均波动要更大.

因此，对于追求稳定的投资者，投资B项目更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承担风险的投资者，投资A项目更合适.

达标检测

1．D

2．解析：而由已知分布列的性质有p＋x＝1，x=1-p

 E(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，

∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).

答案：1-p； p； p(1-p)

3.解析:由题知a+b+c=,-a+c+=0,12×a+12×c+22×=1,

解得a=,b=.

答案:

4.解:甲保护区违规次数X的数学期望和方差为

E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,

D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.

乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为

E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,

D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.

因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定,所以乙保护区的管理水平比甲高.