2021_2022学年新教材高中数学章末综合测评5函数应用含解析北师大版必修第一册

章末综合测评(五)函数应用

 (满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为(　　)

A．1,2,3 B．1，－1,3

C．1，－1，－3 D．无零点

B　[令y＝0，即(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝3.故选B.]

2．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(－2，－1) D．(－1,0)

D　[因为f(－1)＝3－1－1<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.]

3．函数y＝log2x－的图象大致是(　　)

　　　           A　　　　  B　　　C　　　　　D

A　[当x＝4时，y＝log2x－＝0，所以舍去D；

当x＝16时，y＝log2x－＝0，所以舍去BC；故选A.]

4．当x∈(2,4)时，下列关系正确的是(　　)

A．x2<2x B．log2x<x2

C．log2x< D．2x<log2x

B　[当x∈(2,4)时，x2∈(4,16)，2x∈(4,16)，log2x∈(1,2)，∈，显然C，D不正确，对于选项A，若x＝3时，x2＝9>23，故A也不正确．]

5．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)(　　)

A．2[x＋1] B．2([x]＋1)

C．2{x} D．{2x}

C　[如x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4，排除A、B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C.]

6．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)

　　　           A　　　 　B　　　　C　　　　D

B　[由题意可知：曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，选项B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.]

7．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度为0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875,0.6253＝0.244 14)(　　)

A．0.25 B．0.375

C．0.635 D．0.825

C　[令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，

∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，

∵|0.75－0.625|＝0.125<0.25，

∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]

8．我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是(　　)

A．跌1.99%  B．涨1.99%

C．跌0.99% D．涨0.99%

A　[设四天前股价为a，则现在的股价为a×1.12×0.92＝0.980 1a，跌1.99%.]

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列函数：

①y＝lg x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有零点的函数是(　　)

A．① B．③

C．② D．④

ABD　[分别作出这四个函数的图象(图略)，其中①y＝lg x，③y＝x2与x轴有一个交点，图象④y＝|x|－1的图象与x轴有两个交点，即有2个零点，故选ABD.]

10．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象选择错误的是(　　)

 　 　            ①　　  　②　　 　③　　 　④

A．甲是图①，乙是图② B．甲是图①，乙是图④

C．甲是图③，乙是图② D．甲是图③，乙是图④

ACD　[由已知甲先快后慢，且前半程用时要比后半程少，也比乙后半程用时少，故符合①，而由乙的运动知其符合④.]

11．若函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围不可能是(　　)

A．a<－3 B．－<a<－

C．－3<a<－ D．－<a<－

ABD　[∵函数y＝log2x，y＝4x在其定义域上是增加的，

∴函数f(x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上单调且连续，

∴由零点存在定理可得f ·f(1)<0，即(－a＋2a＋3)(4a＋3)<0，解得－3<a<－.]

12．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系不可能是(　　)

A．a<α<b<β B．a<α<β<b

C．α<a<b<β D．α<a<β<b

ABD　[因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)＝f(β)＝0.

又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间．]

 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．

13．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．

　[设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)>0，f(1)<0，又f ＝3－6×2＋4>0，

所以下一步可断定方程的根所在的区间为.]

14．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于________台．

180　[设产量为x台时利润为S万元，

则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3 000)＝－0.1x2＋36x－3 000＝－0.1(x－180)2＋240，

则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．]

15．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

(0,2)　[由函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点可得|2x－2|＝b有两个不等的根，从而可得函数y＝|2x－2|与函数y＝b的图象有两个交点，结合函数的图象可得0<b<2.]

16．已知函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列四个命题：

①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0<m<n<1，则有F(m)－F(n)<0成立；④当a＞0时，函数y＝F(x)－2有4个零点．其中正确命题的序号是________．

②③④　[易知F(x)＝f(|x|)，故F(x)＝|f(x)|不正确；②∵F(x)＝f(|x|)，∴F(－x)＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0<m<n<1，则F(m)－F(n)＝－alog2m＋1－(－alog2n＋1)＝a(log2n－log2m)<0；④当a＞0时，F(x)＝2可化为f(|x|)＝2，即a|log2|x||＋1＝2，即|log2|x||＝，故|x|＝2或|x|＝2，故函数y＝F(x)－2有4个零点，故②③④正确．]

四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．

[解]　令f(x)＝4x3＋x－15，∵y＝4x3和y＝x在[1,2]上都为增函数，

∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，

f(2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，

∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．

18．(本小题满分12分)若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a的取值范围．

[解]　因为二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1的图象开口向下，

且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以

即

即解得a>.

即实数a的取值范围是.

19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．

(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；

(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

[解]　(1)由题意，得y＝

(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，又y＝5.5>1.5，∴x>15，

∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.

即老张的销售利润是39万元．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－bx＋3.

(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；

(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的范围．

[解]　(1)因为f(0)＝f(4)，所以3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，

令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1.

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的一个零点大于1，另一个小于1，如图．

需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.即b的范围为(4，＋∞)．

21．(本小题满分12分)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝

设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝m(m∈R)，恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围．

[解]　当x≤0，即2x－1≤x－1时，

则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(2x－1)2－(2x－1)(x－1)＝2x2－x，

当x＞0，即2x－1＞x－1时，则f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，画出大致图象如图，

可知当m∈时，f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，其中x2，x3是方程－x2＋x－m＝0的根，x1是方程2x2－x－m＝0的一个根，则x2x3＝m，x1＝，所以x1x2x3＝，显然，该式随m的增大而减小，

因此，当m＝0时，(x1x2x3)max＝0；当m＝时，(x1x2x3)min＝.

由以上可知x1x2x3的取值范围为.

22．(本小题满分12分)某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m(m∈N*)个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化．

(1)如果m＝6，那么渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？

(2)如果投放的药剂质量为m个单位，为了使在8天(从投放药剂算起且包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．

[解]　(1)由题设知，渔场的水质达到有效净化⇔6f(x)≥6⇔f(x)≥1⇔或⇔0<x≤5或5<x≤8，

∴0<x≤8.

即当m＝6时，渔场水质达到有效净化一共可持续8天．

(2)由题设知对任意的x∈(0,8]，6≤mf(x)≤18，m∈N*，

∵f(x)＝

∴对任意的x∈(0,5]，6≤mlog3(x＋4)≤18，且对任意的x∈(5,8]，6≤≤18.

∴且解得6≤m<9，

又m＝9时符合题意，

故投放的药剂质量m的取值范围为[6,9]，且m∈N*，即m∈{6,7,8,9}．