初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试练习题
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这是一份初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试练习题,共35页。试卷主要包含了如图,一把宽为2cm的刻度尺等内容,欢迎下载使用。
九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系专题攻克
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,将的圆周分成五等分(分点为A、B、C、D、E),依次隔一个分点相连,即成一个正五角星形.小张在制图过程中,惊讶于图形的奇妙,于是对图形展开了研究,得到:点M是线段AD、BE的黄金分割点,也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中,不正确的是( )
A. B.
C. D.
2、一个正多边形的半径与边长相等,则这个正多边形的边数为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
3、下列四个命题中,真命题是( )
A.相等的圆心角所对的两条弦相等 B.三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C.平分弦的直径一定垂直于这条弦 D.等弧就是长度相等的弧
4、如图,AB是⊙O的直径,BD与⊙O相切于点B,点C是⊙O上一点,连接AC并延长,交BD于点D,连接OC,BC,若∠BOC=50°,则∠D的度数为( )
A.50° B.55° C.65° D.75°
5、已知的半径为5cm,点P到圆心的距离为4cm,则点P和圆的位置关系( )
A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.无法判断
6、如图,一把直尺,60°的直角三角板和一个量角器如图摆放,A为60°角与刻度尺交点,刻度尺上数字为4,点B为量角器与刻度尺的接触点,刻度为7,则该量角器的直径是( )
A.3 B. C.6 D.
7、如图,一把宽为2cm的刻度尺(单位:cm),放在一个圆形茶杯的杯口上,刻度尺的一边与杯口外沿相切,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和10,茶杯的杯口外沿半径为( )
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
8、平面内,⊙O的半径为3,若点P在⊙O外,则OP的长可能为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9、如图,为正六边形边上一动点,点从点出发,沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动,运动到点停止.设点的运动时间为,以点、、为顶点的三角形的面积是,则下列图像能大致反映与的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
10、如图,BE是的直径,点A和点D是上的两点,过点A作的切线交BE延长线于点C,若,则的度数是( )
A.18° B.28° C.36° D.45°
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,AC = 15 cm,点O在中线CD上,当半径为3 cm的⊙O与△ABC的边相切时,OC =_________ .
2、点P为⊙O外一点,直线PO与⊙O的两个公共点为A,B,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,若∠CPO=40°,则∠CAB=_____度.
3、如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在上,则∠BPC的度数为_____.
4、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知:⊙O和⊙O外一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.作法:如图,
(1)连接OP;
(2)分别以点O和点P为圆心,大于的长半径作弧,两弧相交于M,N两点;
(3)作直线MN,交OP于点C;
(4)以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交⊙O于A,B两点;
(5)作直线PA,PB.直线PA,PB即为所求作⊙O的切线
完成如下证明:
证明:连接OA,OB,
∵OP是⊙C直径,点A在⊙C上
∴∠OAP=90°(___________)(填推理的依据).
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上,
∴直线PA是⊙O的切线(___________)(填推理的依据).
同理可证直线PB是⊙O的切线.
5、如图,是的直径,是的切线,切点为,交于点,点是的中点.若的半径为,,,则阴影部分的面积为________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,⊙O是ABC的外接圆,∠ABC=45°,OCAD,AD交BC的延长线于D,AB交OC于E.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若AE=,CE=2,求⊙O的半径和线段BC的长.
2、如图,四边形OAEC是平行四边形,以O为圆心,OC为半径的圆交CE于D,延长CO交O于B,连接AD、AB,AB是O的切线.
(1)求证:AD是O的切线.
(2)若O的半径为4,,求平行四边形OAEC的面积.
3、如图,在RtABC中,∠ACB=Rt∠,以AC为直径的半圆⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连结DE、CD.过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AD=5,DF=3,求⊙O的半径.
4、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,O点在△ABC内部,⊙O经过B、C两点且交AB于点D,连接CO并延长交线段AB于点G,以GD、GC为邻边作平行四边形GDEC.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)若DE=7,CE=5,求⊙O的半径.
5、如图,点在轴正半轴上,,点是第一象限内的一点,以为直径的圆交轴于,两点,,两点的横坐标是方程的两个根,,连接.
(1)如图(1),连接.
①求的正切值;
②求点的坐标.
(2)如图(2),若点是的中点,作于点,连接,,,求证:.
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
利用正五边形的性质,圆的性质,相似三角形的判定和性质,黄金分割定理判断即可.
【详解】
如图,连接AB,BC,CD,DE,EA,
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点,也是线段NE、AH的黄金分割点,
∴,
∵AB=BC=CD=DE=EA,
∴∠DAE=∠AEB,
∴AM=ME,
∴,
∴A正确,不符合题意;
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点,也是线段NE、AH的黄金分割点,
∴点F是线段BD的黄金分割点,
∴,
∵AB=BC=CD=DE=EA,∠BCD=∠AED,
∴△BCD≌△AED,
∴AD=BD,
∴,
∴B正确,不符合题意;
∵AB=BC=CD=DE=EA, ∠BAE=108°,
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE,
∴∠CAD=36°,
∴D正确,不符合题意;
∵∠CAD=36°, AN=BN=AM=ME,
∴∠ANM=∠AMN=72°,
∴AM>MN,
∴C错误,符合题意;
故选C.
【点睛】
本题考查了圆的性质,正五边形的性质,三角形的全等,黄金分割,熟练掌握圆的性质,正五边形的性质,黄金分割的意义是解题的关键.
2、C
【解析】
【分析】
如图(见解析),先根据等边三角形的判定与性质可得,再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得.
【详解】
解:如图,由题意得:,
是等边三角形,
,
则这个正多边形的边数为,
故选:C.
【点睛】
本题考查了正多边形,熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键.
3、B
【解析】
【分析】
利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解:A、同圆或等圆中,相等的圆心角所对的两条弦相等,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点,是真命题,故本选项符合题意;
C、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
D、等弧是能够完全重合的弧,长度相等的弧不一定是等弧,则原命题是假命题,故本选项不符合题意;
故选:B
【点睛】
本题主要考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识,难度不大.
4、C
【解析】
【分析】
首先证明∠ABD=90°,由∠BOC=50°,根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题.
【详解】
解:∵BD是切线,
∴BD⊥AB,
∴∠ABD=90°,
∵∠BOC=50°,
∴∠A=∠BOC=25°,
∴∠D=90°﹣∠A=65°,
故选:C.
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
5、A
【解析】
【分析】
直接根据点与圆的位置关系进行解答即可.
【详解】
解:∵⊙O的半径为5cm,点P与圆心O的距离为4cm,5cm>4cm,
∴点P在圆内.
故选:A.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系,当点到圆心的距离小于半径的长时,点在圆内;当点到圆心的距离等于半径的长时,点在圆上;当点到圆心的距离大于半径的长时,点在圆外.
6、D
【解析】
【分析】
如图所示,连接OA,OB,OC,利用切线定理可知△AOC与△AOB为直角三角形,进而可证明Rt△AOC≌Rt△AOB,根据三角板的角度可算出∠OAB的度数,借助三角函数求出OB的长度.
【详解】
解:如图所示,连接OA,OB,OC,
∵三角板的顶角为60°,
∴∠CAB=120°,
∵AC,AB,与扇形分别交于一点,
∴AC,AB是扇形O所在圆的切线,
∴OC⊥AC,OB⊥AB,
在Rt△AOC与Rt△AOB中,
∴Rt△AOC≌Rt△AOB,
∴∠OAC=∠OAB=60°,
由题可知AB=7-4=3,
∴OB=AB•tan60°= ,
∴直径为,
故选:D.
【点睛】
本题考查,圆的切线定理,全等三角形的判定,三角函数,在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键.
7、D
【解析】
【分析】
作OD⊥AB于C,OC的延长线交圆于D,其中点为圆心,为半径,cm,cm;设茶杯的杯口外沿半径为,在中,由勾股定理知,进而得出结果.
【详解】
解:作OD⊥AB于C,OC的延长线交圆于D,其中点为圆心,为半径,
由题意可知cm,cm;
∵
∴AC=BC=4cm,
设茶杯的杯口外沿半径为
则在中,由勾股定理知
解得
故选D.
【点睛】
本题考查了垂径定理,切线的性质,勾股定理的应用.解题的关键在于将已知线段长度转化到一个直角三角形中求解计算.
8、A
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系得出OP>3即可.
【详解】
解:∵⊙O的半径为3,点P在⊙O外,
∴OP>3,
故选:A.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系,解答的关键是熟知点与圆的位置关系:设平面内的点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则点在圆外d>r,点在圆上d=r,点在圆内d<r.
9、A
【解析】
【分析】
设正六边形的边长为1,当在上时,过作于 而 求解此时的函数解析式,当在上时,延长交于点 过作于 并求解此时的函数解析式,当在上时,连接 并求解此时的函数解析式,由正六边形的对称性可得:在上的图象与在上的图象是对称的,在上的图象与在上的图象是对称的,从而可得答案.
【详解】
解:设正六边形的边长为1,当在上时,
过作于 而
当在上时,延长交于点 过作于
同理:
则为等边三角形,
当在上时,连接
由正六边形的性质可得:
由正六边形的对称性可得: 而
由正六边形的对称性可得:在上的图象与在上的图象是对称的,
在上的图象与在上的图象是对称的,
所以符合题意的是A,
故选A
【点睛】
本题考查的是动点问题的函数图象,锐角三角函数的应用,正多边形的性质,清晰的分类讨论是解本题的关键.
10、A
【解析】
【分析】
连接,根据同弧所对的圆周角相等可得,根据圆周角定理可得,根据切线的性质以及直角三角形的两锐角互余即可求得的度数.
【详解】
解:如图,连接
,
是的切线
故选A
【点睛】
本题考查了切线的性质,圆周角定理,求得的度数是解题的关键.
二、填空题
1、或6.
【解析】
【分析】
先求出,分三种情况,利用⊙O的切线的特点构造直角三角形,用三角函数求解即可.
【详解】
解:Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°,
∵AC = 15 cm,
∴
∴,
∵CD为AB边上中线,
∴,
∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°,∠ACD=∠A=30°,
①当⊙O与AB相切时,过点O作OE⊥AB于E,如图1,
在Rt△ODE中,∠BDC=60°,OE=3,
∴,
∴;
∴;
②当⊙O与BC相切时,过O作OE⊥BC,如图2,
在Rt△OCE中,∠BCD=60°,OE=3,
∴
∴;
③当⊙O与AC相切时,过O作OE⊥AC于E,如图3,
在Rt△OCE中,∠ACD=30°,OE=3,
∴,
∴.
故答案为或6.
【点睛】
此题是切线的性质,主要考查了直角三角形的性质,斜边的中线等于斜边的一半,锐角三角函数,解本题的关键是用圆的切线构造直角三角形,借助三角函数来求解.
2、25或65
【解析】
【分析】
由切线性质得出∠OCP=90°,根据圆周角定理和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求得∠CAB或∠CBA的度数即可解答.
【详解】
解:如图1,连接OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC,即∠OCP=90°,
∵∠CPO=40°,
∴∠POC=90°-40°=50°,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠POC=2∠CAB,
∴∠CAB=25°,
如图2,∠CBA=25°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°-∠CBA=65°,
综上,∠CAB=25°或65°.
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余,熟练掌握切线性质和等腰三角形的性质是解答的关键.
3、45°##45度
【解析】
【分析】
连接OB、OC,根据正方形的性质得到∠BOC的度数,利用圆周角与圆心角的关系得到答案.
【详解】
解:连接OB、OC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=,
故答案为:45°.
【点睛】
此题考查了圆内接正方形的性质,圆周角定理:同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,熟记各知识点是解题的关键.
4、 直径所对的圆周角是直角 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】
连接OA,OB,根据圆周角定理可知∠OAP=90°,再依据切线的判定证明结论;
【详解】
证明:连接OA,OB,
∵OP是⊙C直径,点A在⊙C上,
∴∠OAP=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上,
∴直线PA是⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线),
同理可证直线PB是⊙O的切线,
故答案为:直径所对的圆周角是直角;经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
5、
【解析】
【分析】
根据题意先得出△AOE≌△DOE,进而计算出∠AOD=2∠B=100°,利用四边形ODEA的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积.
【详解】
解:连接EO、DO,
∵点E是AC的中点,O点为AB的中点,
∴OE∥BC,
∴∠AOE=∠B,∠EOD=∠BDO,
∵OB=OD,
∴∠B=∠BDO,
∴∠AOE =∠EOD,
在△AOE和△DOE中
,
∴△AOE≌△DOE,
∵点E是AC的中点,
∴AE=AC=2.4,
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°,
∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4-=.
故答案为:.
【点睛】
本题考查切线的性质以及圆周角定理和扇形的面积公式和全等三角形判定性质,注意掌握圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)4,
【解析】
【分析】
(1)连接OA.由及圆周角定理求出∠OAD=90°,即可得到结论;
(2)设⊙O的半径为R,在Rt△OAE中,勾股定理求出R, 延长CO交⊙O于F,连接AF,证明△CEB∽△AEF,得到,由此求出⊙O的半径和线段BC的长.
(1)
证明:连接OA.
∵,
∴∠AOC+∠OAD=180°,
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°,
∴∠OAD=90°,
∴OA⊥AD,
∵OA是半径,
∴AD是⊙O的切线.
(2)
解:设⊙O的半径为R,则OA=R,OE=R-2.
在Rt△OAE中,,
∴,
解得或(不合题意,舍去),
延长CO交⊙O于F,连接AF,
∵∠AEF=∠CEB,∠B=∠AFE,
∴△CEB∽△AEF,
∴,
∵CF是直径,
∴CF=8,∠CAF=90°,
又∵∠F=∠ABC=45°,
∴∠F=∠ACF=45°,
∴AF=,
∴,
∴BC=.
.
【点睛】
此题考查了证明直线是圆的切线,勾股定理,相似三角形的判定及性质,直径所对的圆周角是直角的性质,等腰直角三角形的性质,正确作出辅助线解题是解题的关键.
2、 (1)见解析
(2)32
【解析】
【分析】
(1)连接OD,证明,可得,根据切线的性质可得,进而可得,即可证明AD是O的切线;
(2)根据平行四边形OAEC的面积等于2倍即可求解.
(1)
证明:连接OD.
∵四边形OAEC是平行四边形,
∴,
又∵,
∴,
∵AB与相切于点B,
∴,
又∵OD是的半径,
∴AD为的切线.
(2)
∵
在Rt△AOD中,
∴平行四边形OABC的面积是
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定,平行四边形的性质,三角形全等的性质与判定,掌握切线的性质与判定是解题的关键.
3、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)连接OD,求出DE=CE=BE,推出∠EDC+∠ODC=∠ECD +∠OCD,求出∠ACB=∠ODE=90°,根据切线的判定推出即可.
(2)根据勾股定理求出AF=3,设OD=x,根据勾股定理列出方程即可.
(1)
证明:连接OD,
∵AC是直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDC=180°﹣∠ADC=90°,
∵E是BC的中点,
∴,
∴∠EDC=∠ECD,
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD +∠OCD,
即∠ACB=∠ODE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ODE=90°,
又∵OD是半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)
解:设OD=x,
∵DF⊥AC,AD=5,DF=3,
∴,
在三角形ADF中,
,
解得,,
⊙O的半径为.
【点睛】
本题考查了切线的证明和直角三角形的性质,解题关键是熟练运用直角三角形和等腰三角形的性质证明切线,利用勾股定理求半径.
4、 (1)见解析
(2)4
【解析】
【分析】
(1)连接OD,根据题意和平行四边形的性质可得DE∥CG,可得OD⊥DE,即可求解;
(2)设⊙O的半径为r,因为∠GOD=90°,根据勾股定理可求解r,当r=2时,OG=5,此时点G在⊙O外,不合题意,舍去,可求解.
(1)
证明:连接OD,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=45°,
∴∠COD=2∠ABC=90°,
∵四边形GDEC是平行四边形,
∴DE∥CG,
∴∠ODE+∠COD=180°,
∴∠ODE=90°,即OD⊥DE,
∵OD是半径,
∴直线DE是⊙O的切线;
(2)
解:设⊙O的半径为r,
∵四边形GDEC是平行四边形,
∴CG=DE=7,DG=CE=5,
∵∠GOD=90°,
∴OD2+OG2=DG2,即r2+(7﹣r)2=52,
解得:r1=3,r2=4,
当r=3时,OG=4>3,此时点G在⊙O外,不合题意,舍去,
∴r=4,即⊙O的半径4.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质,切线的性质和判定,勾股定理,熟练掌握切线的判定定理是解决本题的关键.
5、 (1)①,②(4,3)
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)①过点P作PH⊥DC于H,作AF⊥PH于F,连接PD、AD,利用因式分解法解出一元二次方程,求出OD、OC,根据垂径定理求出DH,根据勾股定理计算求出半径,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,根据正切的定义计算即可;②过点B作BE⊥x轴于点E,作AG⊥BE于G,根据平行线分线段成比例定理定理分别求出OE、BE,得到点B的坐标;
(2)过点E作EH⊥x轴于H,证明△EHD≌△EFB,得到EH=EF,DH=BF,再证明Rt△EHC≌Rt△EFC,得到CH=CF,结合图形计算,证明结论.
(1)
解:①以AB为直径的圆的圆心为P,
过点P作PH⊥DC于H,作AF⊥PH于F,连接PD、AD,
则DH=HC=DC,四边形AOHF为矩形,
∴AF=OH,FH=OA=1,
解方程x2﹣4x+3=0,得x1=1,x2=3,
∵OC>OD,
∴OD=1,OC=3,
∴DC=2,
∴DH=1,
∴AF=OH=2,
设圆的半径为r,则PH2=,
∴PF=PH﹣FH,
在Rt△APF中,AP2=AF2+PF2,即r2=22+(PH﹣1)2,
解得:r=,PH=2,PF=PH﹣FH=1,
∵∠AOD=90°,OA=OD=1,
∴AD=,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴BD===3,
∴tan∠ABD===;
②过点B作BE⊥x轴于点E,交圆于点G,连接AG,
∴∠BEO=90°,
∵AB为直径,
∴∠AGB=90°,
∵∠AOE=90°,
∴四边形AOEG是矩形,
∴OE=AG,OA=EG=1,
∵AF=2,
∵PH⊥DC,
∴PH⊥AG,
∴AF=FG=2,
∴AG=OE=4,BG=2PF=2,
∴BE=3,
∴点B的坐标为(4,3);
(2)
证明:过点E作EH⊥x轴于H,
∵点E是的中点,
∴=,
∴ED=EB,
∵四边形EDCB为圆P的内接四边形,
∴∠EDH=∠EBF,
在△EHD和△EFB中,
,
∴△EHD≌△EFB(AAS),
∴EH=EF,DH=BF,
在Rt△EHC和Rt△EFC中,
,
∴Rt△EHC≌Rt△EFC(HL),
∴CH=CF,
∴2CF=CH+CF=CD+DH+BC﹣BF=BC+CD.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理的应用,正确作出辅助线、求出圆的半径是解题的关键.
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