初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试随堂练习题

这是一份初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试随堂练习题
九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系月考 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）A． B． C． D．2、如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，点、分别是正方形的边、上的动点，且，过原点作，垂足为，连接、，则面积的最大值为（ ）A． B．12 C． D．3、如图，为正六边形边上一动点，点从点出发，沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动，运动到点停止．设点的运动时间为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反映与的函数关系的是（ ）A． B．C． D．4、如图，，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（ ）A． B． C． D．5、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．6、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（ ）A．4.8 B．5 C．4 D．47、已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断8、已知的半径为5cm，点P到圆心的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（ ）A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断9、如图，与相切于点，连接交于点，点为优弧上一点，连接，，若，的半径，则的长为（ ）A．4 B． C． D．110、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是=____．2、如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是________．3、⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是____________．4、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．5、如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有 _____（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，⊙O是ABC的外接圆，∠ABC=45°，OCAD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AE=，CE=2，求⊙O的半径和线段BC的长．2、如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：；(3)若，△ACD的面积为12，求PB的长．3、如图，中，．(1)用直尺和圆规作，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，再从以下两个条件①“，的周长为12cm；②，”中选择一个作为条件，并求的半径．4、如图，点在轴正半轴上，，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于，两点，，两点的横坐标是方程的两个根，，连接．(1)如图（1），连接．①求的正切值；②求点的坐标．(2)如图（2），若点是的中点，作于点，连接，，，求证：．5、如图，AB是ΘO的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB=30°，，然后根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， 根据题意得：OA= ，∠OAB=30°，，在中， ，∴AB=3，即这个正三角形的边长是3．故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．2、D【解析】【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．【详解】解：如图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，∵直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，∴点A（4，0），点B（0，-3），∴OB=3，OA=4，∴，∵四边形ACDO是正方形，∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°，∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，又∵DE=AF，∴△DEN≌△AFN（ASA），∴DN=AN，EN=NF，∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，∴ON=NC=2，∵OH⊥EF，∴∠OHN=90°，∴点H在以ON直径的圆上运动，∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，∵点M是ON的中点，∴OM=MN=，∵MP⊥OP，∠COA=45°，∴OP=MP=1，∴AP=3，∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，又∵∠AOB=∠MPK=90°，∴△MPK∽△AOB，∴，∴，∴，∴，∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，∴△AKQ∽△ABO，∴，∴，∴，∴，∴点H到AB的最大距离为，∴△HAB面积的最大值，故选：D．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，求出MQ的长是解题的关键．3、A【解析】【分析】设正六边形的边长为1，当在上时，过作于 而 求解此时的函数解析式，当在上时，延长交于点 过作于 并求解此时的函数解析式，当在上时，连接 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，从而可得答案.【详解】解：设正六边形的边长为1，当在上时，过作于 而 当在上时，延长交于点 过作于 同理： 则为等边三角形， 当在上时，连接 由正六边形的性质可得： 由正六边形的对称性可得： 而 由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，所以符合题意的是A，故选A【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.4、A【解析】【分析】如图，连接先求解 再利用圆周角定理可得，从而可得答案.【详解】解：如图，连接 ，是的切线， 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线的性质的应用，理解是解本题的关键.5、A【解析】【分析】连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC，∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，∴DC=AC，OC平分∠ACD，∵，，∴∠ACD=90°-∠B=60°，∴∠OCD=∠OCA==30°，在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，∴OD=OA=1，DC=AC=，∴，，∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，∴，S阴影=．故选择A．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．6、B【解析】【分析】连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．【详解】解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，再设⊙O的半径为x．∵AB切⊙O于E，∴EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴∠OFD=90°，在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，∴（8-x）2+42= x2，∴x=5，∴⊙O的半径为5．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7、A【解析】【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为3，若PO＝2，∴2＜3，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．8、A【解析】【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，∴点P在圆内．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．9、B【解析】【分析】连接OB，根据切线性质得∠ABO=90°，再根据圆周角定理求得∠AOB=60°，进而求得∠A=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：连接OB，∵AB与相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠BDC=30°，∴∠AOB=2∠BDC=60°，在Rt△ABO中，∠A=90°－60°=30°，OB=OC=2，∴OA=2OB=4，∴，故选：B．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的锐角互余、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．10、B【解析】【分析】由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴，，∴在和中，，∴，∴．故选：B【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】先利用切线长定理求得OC=，再判断出当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：⊙O 与Rt△ABC三边的切点分别为E、F、G，连接OE、OF、OG、OC，∵⊙O是Rt△ABC内切圆，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴CE=CF，BE=BG，AF=AG，则四边形OECF是正方形，AB==5，设正方形OECF的边长为x，则BE=BG=3-x，AF=AG=4-x，依题意得：3-x+4-x=5，解得：x=1，∴OC=，∵CD⊥l，即∠CDO=90°，∴点D在以OC为直径的⊙Q上，连接QA，过点Q作QP⊥AC于点P，当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，∴CP=QP=，AP=AC-CP=，⊙Q的半径为QD=，∴QA=，∴AD的最小值为AQ-QD=，故答案为：．【点睛】本题考查了内心的性质，切线长定理，圆周角定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2、70°##70度【解析】【分析】连接OA、OB，根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，∴∠Q=∠AOB=70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．3、相离【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，∴d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故答案为：相离．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．4、【解析】【分析】过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．【详解】如图所示，是正三角形，故O是的中心，，∵正三角形的边长为2，OE⊥AB∴，，∴，由勾股定理得：，∴，∴，∴(负值舍去)．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．5、②③④【解析】【分析】根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．【详解】∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，∴∠CMH=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CMH=∠CDH=90°，∵CM=CD，CH=CH，∴△CMH≌△CDH，∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，故①错误；∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，∴2∠HCM+2∠GCM=90°，∴∠HCM+∠GCM=45°，即∠GCH＝45°，故②正确；∵△CMH≌△CDH，BD是正方形的对角线，∴∠GHF=∠DHF，∠GCH=∠HDF=45°，∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC=∠DHF +∠HDF+∠HFD=180°，根据对角互补的四边形内接于圆，∴H，F，E，G四点在同一个圆上，故③正确；∵正方形ABCD的边长为1，∴=1=，∠GAH=90°，AC=取GH的中点P，连接PA，∴GH=2PA，∴=，∴当PA取最小值时，有最大值，连接PC，AC，则PA+PC≥AC，∴PA≥AC- PC，∴当PC最大时，PA最小，∵直径是圆中最大的弦，∴PC=1时，PA最小，∴当A，P，C三点共线时，且PC最大时，PA最小，∴PA=-1，∴最大值为：1-（-1）=2-，∴四边形CGAH面积的最大值为2，∴④正确；故答案为: ②③④．【点睛】本题考查了切线的性质，直径是最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)4，【解析】【分析】（1）连接OA．由及圆周角定理求出∠OAD=90°，即可得到结论；（2）设⊙O的半径为R，在Rt△OAE中，勾股定理求出R， 延长CO交⊙O于F，连接AF，证明△CEB∽△AEF，得到，由此求出⊙O的半径和线段BC的长．(1)证明：连接OA．∵， ∴∠AOC+∠OAD=180°，∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，∴∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线． (2)解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2．在Rt△OAE中，，∴，解得或（不合题意，舍去），延长CO交⊙O于F，连接AF，∵∠AEF=∠CEB，∠B=∠AFE，∴△CEB∽△AEF，∴， ∵CF是直径，∴CF=8，∠CAF=90°，又∵∠F=∠ABC=45°， ∴∠F=∠ACF=45°，∴AF=，∴， ∴BC=． ．【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，勾股定理，相似三角形的判定及性质，直径所对的圆周角是直角的性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线解题是解题的关键．2、 (1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角等于90°可得，根据等边对等角可得，进而证明，即可求得，从而证明PC是⊙O的切线；（2）由（1）可得，进而证明，可得，根据等角对等边证明，即可得证；（3）作于点F，勾股定求得，证明，进而求得的长，设，根据△ACD的面积为12，求得，勾股定理求得，由可得，即可求得的长．(1)连接OC，如图，∵AB是的直径，，即．，，，.，.．又是半径，是⊙O的切线．(2)由（1），得．，.，．平分，.又，，即．，.(3)作于点F，如图，．平分，，．，由勾股定理得：．，，，.，.设，，.解得或（舍去）．．Rt△ACF中，由勾股定理得：，，．由（2）得，.，，，，【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3、 (1)见解析(2)cm【解析】【分析】（1）作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以点O为圆心、OC为半径作圆；（2）记⊙O与AB的切点为E，连接OE，则OC=OE，BC=BE，设OC=OE=r，则AO=AC-r，在Rt△AOE中，由AO2=AE2+OE2列出关于r的方程求解即可．①设AC=3x，AB=5x，用勾股定理表示出BC的长，根据的周长为12cm，列方程求出x，从而可求出三边的长；②设AC=3x，AB=5x，用勾股定理表示出BC的长，根据，列方程求出x，从而可求出三边的长；(1)解：如图，(2)解：如图，设与相切于点．连接OE，则OC=OE，BC=BE，设OC=OE=r，则AO=AC-r．①∵，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC==4x，∵的周长为12cm，∴3x+4x+5x=12，∴x=1，∴AC=3，AB=5，∵⊙O 与 AB 、 BC 所在直线相切∴BE=BC=4，∴AE=AB-BE=5-4=1，AO=3-r，在Rt△AOE中，∵AO2=AE2+OE2，∴(3-r)2=12+r2，∴r=；②∵，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC==4x，∵，∴4x=12，∴x=1，∴AC=3，AB=5，∵⊙O 与 AB 、 BC 所在直线相切∴BE=BC=4，∴AE=AB-BE=5-4=1，AO=3-r，在Rt△AOE中，∵AO2=AE2+OE2，∴(3-r)2=12+r2，∴r=；即⊙O的半径为cm．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，勾股定理，切线的性质，以及切线长定理，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和性质、切线的性质和切线长定理及勾股定理．4、 (1)①，②（4，3）(2)见解析【解析】【分析】（1）①过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，利用因式分解法解出一元二次方程，求出OD、OC，根据垂径定理求出DH，根据勾股定理计算求出半径，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据正切的定义计算即可；②过点B作BE⊥x轴于点E，作AG⊥BE于G，根据平行线分线段成比例定理定理分别求出OE、BE，得到点B的坐标；（2）过点E作EH⊥x轴于H，证明△EHD≌△EFB，得到EH＝EF，DH＝BF，再证明Rt△EHC≌Rt△EFC，得到CH＝CF，结合图形计算，证明结论．(1)解：①以AB为直径的圆的圆心为P，过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，则DH＝HC＝DC，四边形AOHF为矩形，∴AF＝OH，FH＝OA＝1，解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，∵OC＞OD，∴OD＝1，OC＝3，∴DC＝2，∴DH＝1，∴AF＝OH＝2，设圆的半径为r，则PH2＝，∴PF＝PH﹣FH，在Rt△APF中，AP2＝AF2+PF2，即r2＝22+（PH﹣1）2，解得：r＝，PH＝2，PF＝PH﹣FH＝1，∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝1，∴AD＝，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝=＝3，∴tan∠ABD＝＝＝；②过点B作BE⊥x轴于点E，交圆于点G，连接AG，∴∠BEO＝90°，∵AB为直径，∴∠AGB＝90°，∵∠AOE＝90°，∴四边形AOEG是矩形，∴OE＝AG，OA＝EG＝1，∵AF＝2，∵PH⊥DC，∴PH⊥AG，∴AF＝FG＝2，∴AG＝OE＝4，BG＝2PF＝2，∴BE＝3，∴点B的坐标为（4，3）；(2)证明：过点E作EH⊥x轴于H，∵点E是的中点，∴＝，∴ED＝EB，∵四边形EDCB为圆P的内接四边形，∴∠EDH＝∠EBF，在△EHD和△EFB中，，∴△EHD≌△EFB（AAS），∴EH＝EF，DH＝BF，在Rt△EHC和Rt△EFC中，，∴Rt△EHC≌Rt△EFC（HL），∴CH＝CF，∴2CF＝CH+CF＝CD+DH+BC﹣BF＝BC+CD．【点睛】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线、求出圆的半径是解题的关键．5、 (1)相切，理由见解析(2)【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE＝90°，而D是圆上的一点；故可得直线DE与⊙O相切；（2）连接BD，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB＝5，即可求解．(1)解：所在直线与相切．理由：连接．∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵是半径，∴所在直线与相切．(2)解：连接．∵是的直径，∴．∴．又∵，∴．∴．∵，，，∴．∴．∴的半径为．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．