2020-2021学年第30章 二次函数综合与测试练习

这是一份2020-2021学年第30章 二次函数综合与测试练习，共25页。试卷主要包含了二次函数的最大值是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数同步测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（       ）A．B．当时，随的增大而增大C．D．是一元二次方程的一个根2、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（       ）A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥63、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）A．2 B．3 C．3 D．D34、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）A．或6 B．或6 C．或6 D．或5、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（       ）A． B． C．3 D．或36、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B．C． D．7、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）A．-2 B．-1 C．4 D．78、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠09、二次函数的最大值是（   ）A． B． C．1 D．210、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（       ）A． B． C． D．或第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．2、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．3、某商品进价为26元，当每件售价为50元时，每天能售出40件，经市场调查发现每件售价每降低1元，则每天可多售出2件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低______元．4、如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1_____y2．（填“＞”或“＜”）5、如图，函数的图象过点和，下列判断：①；②；③；④和处的函数值相等．其中正确的是__（只填序号）．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．(1)求c的值；(2)计算铅球距离地面的最大高度．2、已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．(1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；(3)若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．3、已知二次函数的图像经过点（1，4）和点（2，3）．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求该二次函数图像的顶点坐标．(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？4、如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式． -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．【详解】解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，设另一交点为，，，另一交点坐标是，是一元二次方程的一个根，故本选项结论正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．【详解】解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），∴，解得：，∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，∴函数的最小值为=，即y≥-3，故选C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．3、B【解析】【分析】先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），∴y＝a（x+2）2+2，∵与y轴交于点A（0，3），∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝ ∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，∴当x＝0时，y＝，∴A′的坐标为（0，），∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．故选：B．【点睛】本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．4、C【解析】【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵y=-x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，∴-(-2)2-2m=5，解得：m=-；②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，∴-12+m=5，解得：m=6．③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，∴-()2+m•=5解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），综上所述，m=-或6，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．5、C【解析】【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．【详解】解：，向左平移个单位后的函数解析式为，函数图象经过坐标原点，，解得．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6、C【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．7、C【解析】【分析】根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解【详解】解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，∴，二次函数开口向下解得，对称轴为当时，，经过原点，根据函数图象可知，当，，根据对称性可得时，二次函数图象经过点，或不可能是4故选C【点睛】本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．8、D【解析】【分析】由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．【详解】解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，解得：a≤4，且a≠0．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．9、D【解析】【分析】由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．【详解】解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值∴将代入中得∴最大值为2故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．10、D【解析】【分析】根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．【详解】由图可知，使得时使成立的x的取值范围是或故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．二、填空题1、＜【解析】【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系．【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，，开口向上，对称轴为又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．2、（1，3）【解析】【分析】根据顶点式判断顶点即可．【详解】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3∴顶点坐标是（1，3）．故答案为：（1，3）【点睛】本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．3、2【解析】【分析】设每件商品售价降低元，则每天的利润为：，然后求解计算最大值即可．【详解】解：设每件商品售价降低元则每天的利润为：，∵∴当时，最大为968元故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次函数的应用．解题的关键在于确定函数解析式．4、＜【解析】【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．【详解】解：∵y＝（x+1）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，∵﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故答案为＜．【点睛】本题考查了的性质，求得对称轴是解题的关键．5、①③④【解析】【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据、的符号得出，即可得到，根据时，得到，即可得到，即可判断②；根据抛物线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线交轴于正半轴，，，，，故①正确，，，，，时，，则，，，故②错误，的图象过点和，方程的根为，，方程的根为，，，故③正确；的图象过点和，抛物线的对称轴为直线，，和处的函数值相等，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；△决定抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．三、解答题1、 (1)；(2)铅球距离地面的最大高度为【解析】【分析】（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．(1)把（10，0）代入函数解析式中得：解得：(2)当x＝﹣时，y最大＝所以铅球距离地面的最大高度为3m．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．2、 (1)对称轴x＝2；交点坐标为（1，0）和（3，0）(2)10(3)4【解析】【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；（2）构建方程求出a的值，再求出△OPQ的面积即可解决问题；（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，可得t+1≤5且t≥﹣1，由此即可解决问题．(1)解：∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，∴对称轴x＝2；令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，解得x＝1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）；(2)解：∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），∴4a﹣8a+3a＝2，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2x2+8x﹣6，∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；(3)解：∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，∴t+1≤5且t≥﹣1，∴﹣1≤t≤4，∴t的最大值为4．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数的最值问题等知识，解题的关键是读懂题意、灵活运用所学知识解决问题．3、 (1)(2)(3)当时，y随x的增大而减小【解析】【分析】（1）将点（1，4）和（2，3）代入中，得，进行计算即可得；（2）将配方得，即可得；（3）根据二次函数的性质得即可得．(1)解：将点（1，4）和（2，3）代入中，得解得则该二次函数表达式为．(2)解：配方得：，则顶点坐标为（1，4）．(3)解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的性质．4、 (1)(2)（-2，2）或（0，4）(3)存在，点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将A(−4，0)、B(2，6)代入，计算即可；（2）先确定点A点C坐标，再运用待定系数法先求出直线AB的解析式，设点D的坐标为（m，m+4），然后根据OD将△AOB的面积分成1：2的两部分计算即可；（3）设点P的坐标为（xp，yp），分3种情况分析解答即可．(1)解：将A(−4，0)、B(2，6)代入可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；(2)解：∵ A点坐标为（-4，0），OA＝OC∴C点坐标为（0,4）设直线AB的解析式为：，则，解得：，∴直线AB的解析式为：，设点D的坐标为（m，m+4），∵OD将△AOB的面积分成1：2的两部，即或，∴或，解得：或m=0∴点D的坐标为（-2，2）或（0，4）；(3)解：存在；设点P的坐标为（xp，yp），①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，轴，，∵B（2，6），∴点P的坐标为（-2，6）；②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，点P的横坐标为2+4=6，点P的,纵坐标坐标为6，点P的坐标为（6，6）；③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，，，∴，，即，，解得：，，此时点P的坐标为（-6，-6）；综上，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形等知识点，正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．5、y＝﹣x2﹣2x+3【解析】【分析】根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可．【详解】解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)，代入点(0,3)，则3＝a(0+3)(0﹣1)，解得：a＝﹣1，则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可．