冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试综合训练题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试综合训练题，共27页。试卷主要包含了已知平面直角坐标系中有点A等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专项测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：…－3－2－101……－11－311－3…对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（       ）A．①② B．③④ C．①③ D．①②④2、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．3、二次函数的图像如图所示，那么点在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（       ）A． B．C． D．5、下列函数中，随的增大而减小的函数是（       ）A． B． C． D．6、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0：③9a＋3b＋c＜2；④3a＋c＜0；⑤若（﹣，y1），（﹣，y2），（4，y3）是抛物线上的点，则y3＜y1＜y2，其中正确结论的个数是（       ）A．2 B．3 C．4 D．57、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）A． B． C． D．8、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（       ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）A．4 B．2 C．6 D．310、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P(0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．2、已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．3、已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）4、二次函数 y &#xF03D; 2x2&#xF02B;1 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）5、如图，抛物线与轴交于点，，若对称轴为直线，点的坐标为（-3，0），则不等式的解集为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、抛物线与x轴交和点B，交y轴于点C，对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作轴于点E，再过点E作于点F，请求出的最大值．2、已知二次函数的图象经过点，对称轴是经过且平行于轴的直线．(1)求，的值，(2)如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与二次函数的图象相交于另一点，若点与点关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式．(3)根据函数图象直接写出时，的取值范围．3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A(1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C． 已知点E(0，3)、点F(4，t)(t＞3)，点M是线段EF上一动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N．(1)直接写出二次函数的表达式：               (2)若t=5，当MN最大时，求M的坐标；(3)在点M从点E运动至点F的过程中，若线段MN的长逐渐增大，求t的取值范围4、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．(1)求的值；(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）5、借鉴我们已有研究函数的经验，探索函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图像与性质，研究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣2﹣101234…y…m03n305…其中，m＝　 　，n＝　 　；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图像；(3)观察函数图像：①写出该函数的一条性质 　 　；②已知函数y＝x＋4的图像如图所示根据函数图像，直接写出不等式x＋4＜|x2﹣2x﹣3|的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） -参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．【详解】解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得 解得， ∴二次函数式为： ∵ ∴二次函数的图像开口向下，故①正确；∵∴对称轴为直线 ∴当时，随的增大而减小，故②正确；当时，二次函数的最大值是，故③错误；若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误∴正确的是①②故答案为①②【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2、D【解析】【分析】根据二次函数图象性质解题．【详解】解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、C【解析】【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出的符号．【详解】由函数图像可得：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴在y轴右侧，∴，∴b<0，又∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴∴在第三象限故选：C【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．4、C【解析】【分析】根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．【详解】解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、B【解析】【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质逐项分析即可．【详解】A. ，，随的增大而增大，故A选项不符合题意． B. ，， ，的图像位于第三象限，随的增大而减小，故B选项符合题意；C. ，，对称轴为轴，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小，故C选项不符合题意；D. ，，随的增大而增大，故D选项不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质，掌握以上性质是解题的关键．6、B【解析】【分析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点即可判断②；根据函数的对称性和增减性即可判断③；根据抛物线的对称轴为直线x=1，得出b=-2a，由x=-1时，y=a-b+c＜0，即可得出3a+c＜0，即可判断④；根据二次函数的性质即可判断⑤．【详解】解：∵对称轴是直线x=1，且经过点（0，2），∴左同右异ab＜0，c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，所以②正确；∵抛物线对称轴是直线x=1，∴x=-1与x=3的函数值一样，x=0与x=2的函数值都是2，∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∴9a+3b+c＜2，所以③正确；∵对称轴为x=1，∴=1，即b=-2a，∵x=-1时，y=a-b+c＞0，∴3a+c＞0，所以④错误；∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∵点（4，y3）关于直线x=1的对称点为（-2，y3），且，∴y1＜y3＜y2，所以⑤不正确；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与x轴的交点与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．7、B【解析】【分析】直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a=，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．8、C【解析】【分析】根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右边，∴b＜0，∴，故①正确；∵二次函数的图像与x轴交于点，∴a-b+c=0，根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当x=-2时，y＞0即，故②正确；∵，∴b= -2a，∴3a+c=0，∴2a+c=2a-3a= -a＜0，故③正确；根据题意，得，∴，解得，故④错误；∵=0，∴，∴y=向上平移1个单位，得y=+1，∴为方程的两个根，且且．故⑤正确；故选C．【点睛】本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．9、C【解析】【分析】将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．【详解】解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2∴函数图象一定经过点C（2，-2）点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，∵∴故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．10、D【解析】【分析】求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．【详解】解：∵ ，∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥y轴于点M，Q′N⊥y轴于N，∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，∴∠QPM＋∠NPQ′＝∠PQ′N＋∠NPQ′，∴∠QPM＝∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN（AAS），∴PN＝QM，Q′N＝PM，设Q（m，m＋3），∴PM＝|m＋2|，QM＝|m|，∴ON＝|1-m|，∴Q′（m＋2，1−m），∴OQ′2＝（m＋2）2＋（1−m）2＝m2＋5，当m＝0时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．2、【解析】【分析】将点代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将代入中得到：，解得，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当时，对应的最大为：，当时，对应的最小为：，故n的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．3、【解析】【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴，所以当时，随的增大而增大，，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．4、向上【解析】【分析】根据二次函数图象的性质，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下可求解．【详解】∵a=2>0，∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，故答案为：向上．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．5、【解析】【分析】函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，进而求解．【详解】解：函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，观察函数图象知，不等式的解集为：，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．三、解答题1、 (1)(2)【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴及过一点，建立等式进行求解；（2）先证明出是等腰三角形，再利用二次函数的性质结合配方法求解即可．(1)解：对称轴为，把代入得：，解得：，抛物线的解析式为；(2)解：设点D的坐标为，点D在BC的下方，，，，，，是等腰三角形，，轴，E的坐标为，，，，当时，的最大值是．【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是求解出解析式．2、 (1)(2)(3)或3、 (1)(2)(3)t≥9【解析】【分析】（1）从交点式即可求得表达式；（2）求得直线EF的关系式，设出，，表示出MN的关系式，配方求得结果；（3）先求得直线EF的关系式，设，，进而表示出MN的关系式，进一步求得结果．(1)由题意得，故答案是：；(2)∵t=5∴F（4，5），∵E（0，3），F（4，5），∴设直线EF的关系式为y=kx+b把E（0，3），F（4，5）代入y=kx+b得， 解得，∴直线EF的关系式是：y=x+3，设，，∴，∴当a=3时，MN最大=，当a=3时，，∴；(3)∵E（0，3），F（4，t），∴直线EF的关系式是：，设，∴，∵对称轴，0≤m≤4，∴当时，MN随m的增大而增大，∴t≥9．【点睛】本题考查了二次及其图象性质，求一次函数的关系式等知识，解决问题的关键是熟练掌握二次函数图图象性质．4、 (1)的值是500；(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元【解析】【分析】（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由题意可得，，解得：，答：的值是500；(2)解：设利润为w元，由题意：，，∵-10<0，∴时，取得最大值，此时， 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．5、 (1)5，4(2)见解析(3)①图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②x＜-1.6或x＞4.3【解析】【分析】（1）把x=-2和x=1分别代入y=|x2-2x-3|，即可求得；（2）描点、连线画出图象即可；（3）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得．【小题1】解：把x=-2代入y=|x2-2x-3|，得y=5，∴m=5，把x=1代入y=|x2-2x-3|，得y=4，∴n=4，故答案为：5，4；【小题2】如图所示；【小题3】①函数的性质：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；故答案为：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②由图象可知，不等式x+4＜|x2-2x-3|的解集为x＜-1.6或x＞4.3．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一次不等式，注意利用数形结合的思想是解此题的关键．