40.数列（讨论奇、偶2） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份40.数列（讨论奇、偶2） 2022届高三数学一轮复习大题练，共7页。试卷主要包含了设等差数列的前项和为，，，，已知数列的前项和为，且满足，等内容，欢迎下载使用。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求．
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则由题意有，解得或，
，，
．
（Ⅱ）当为奇数时，，
当为偶数时，，
故是以2为周期的周期数列，且，
．
2．设等差数列的前项和为，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
解：（1）设等差数列的公差为，由，可得，即①，
又因为，．取，得，即②，
由①②可得，，故的通项公式为．
（2），
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故．
3．从条件①，②，③中任选一个补充在下面问题中，并解答．
问题：已知数列的各项均为正数，为等比数列，，，______，求数列的前项和．
解：由题意，依据，
化简整理，可得，
，
，即，
，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，，
方案一：选条件①
，
设等比数列的公比为，则，
故，，
，
，
，
两式相减，可得
，
．
方案二：选条件②
，
设等比数列的公比为，则，
故，
，，
，
当为奇数时，
，
当为偶数时，
，
综上所述，可得．
方案三：选条件③
，
设等比数列的公比为，则，
故，，
，
，
，
两式相减，可得
，
．
4．已知为等差数列，为等比数列，，，．
（Ⅰ）分别求数列和的通项公式；
（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
（ⅰ）求证；
（ⅱ）对任意的正整数，设，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）设等差数列为的公差为，等比数列的公比为，
由，，，
可得，，
解得，，
所以；；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：，
，
所以；
（ⅱ），
设数列的奇数项的和为，偶数项的和为，
可得；
，，
两式相减可得，
化简可得．
所以数列的前项和为．
5．已知数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）证明：为常数列，并求；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
（Ⅰ）证明：因为①，
当时，②，
①②得，，即，
同除得，，
整理得，所以为常数列．
因为，所以，
则，所以．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，
所以，
则．
①当，时，，
②当，时，，
综上，．．
6．设是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项，数列的前项和为，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，
因为，是和的等比中项，所以，
即，解得或．
又因为，所以．
所以．
因为，
所以，当时，，
所以，所以，即．
当时，，
又因为，所以，
所以数列是以2为首项、3为公比的等比数列．
所以．
（2）因为，
故数列的前项和为．