人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形优秀综合训练题

8.1           基本立体图形

一、空间几何体、多面体、旋转体的定义

1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

2．多面体、旋转体

二、棱柱的结构特征

1．棱柱的结构特征

2．几个特殊的棱柱

(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；

(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；

(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；

(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．

三、棱锥的结构特征

四、棱台的结构特征

棱台

图形及表示

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台

如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′

相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面；

下底面：原棱锥的底面；

侧面：其余各面；

侧棱：相邻侧面的公共边；

顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点

分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……

截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

五、旋转体的结构特征

1．圆柱的概念及结构特征

2.圆锥的概念及结构特征

3．圆台的概念及结构特征

4.球的概念及结构特征

六、简单组合体的结构特征

现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几

七、旋转体的有关计算

 (1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解．

(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．

跟踪训练3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

考点一 多面体

【例1】(多选)(2020·全国专题练习)下列说法正确的是(    )

A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等

B．五棱锥只有五条棱

C．一个棱柱至少有五个面

D．棱台的各侧棱延长后交于一点

【答案】CD

【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；

五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共条棱，B错误；

一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；

棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.故选：CD.

【练1】(2020·全国高三专题练习)一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是(    )

A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥

【答案】D

【解析】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，故选：D.

考点二 旋转体

【例2】(2020·全国课时练习)下列说法正确的是(    )

A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

【答案】C

【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；

以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；

圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；

平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.

故选：C.

【练2】(2020·浙江)以下空间几何体是旋转体的是(    )

A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥

【答案】A

【解析】由封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体可知，只有A项满足题意故选：A

考点三  组合体

【例3】(2020·浙江省东阳中学)如图所示的组合体，其结构特征是(    )

A．由两个圆锥组合成的

B．由两个圆柱组合成的

C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的

D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的

【答案】D

【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D

【练3】(2020·全国高一课时练习)如图，说出图中两个几何体的结构特征.

【答案】(1)由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.(2)由四梭柱和四棱锥组合而成的简单组合体.

【解析】几何体(1)是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；

几何体(2)是长方体上拼接了一个同底的四棱锥；

考点四  截面问题

【例4】(多选)(2021·凯里市第三中学)用一个平面截一个正方体，截面图形可以是(    )

A．三角形 B．等腰梯形

C．五边形 D．正六边形

【答案】ABCD

【解析】

如图所示：

三角形         等腰梯形           五边形             正六边形

故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、等腰梯形、五边形、正六边形，

故选：ABCD.

【练4】(2021·江苏高一课时练习)如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是(    )

A．三棱锥 B．四棱锥

C．三棱柱 D．组合体

【答案】B

【解析】根据棱锥的结构特征可判断，余下部分是四棱锥A′－BCC′B′．故选：B.

课后练习

1. （2021高一下·铜仁期末）下列命题正确的是（    ）           

A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C.棱锥的底面一定是三角形
D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

【答案】 D  

【考点】棱柱的结构特征，棱锥的结构特征   

【解析】解：对于A选项，三棱柱的底面是三角形，A选项错误；

对于B选项，过棱锥顶点与底面内的线构成的截面将棱锥分为两个棱锥，B选项错误；

对于C选项，棱锥有三棱锥、四棱锥等，故底面不一定为三角形，C选项错误；

对于D选项，当该截面为平行于上下底面的截面时，分成的两部分依然为棱柱，D选项正确.

故答案为：D

【分析】 棱柱的底面是平面多边形,即可判断A；棱锥被过顶点的平面分成的两部分有可能都是棱锥,即可判断B；棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，即可判断C；棱柱被平行于底面的平面所截分成的两部分可以都是棱柱，即可判断D.

2. （2021高一下·天津期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（    ）           

A.                                          B.                                          C.                                          D. 

【答案】 C  

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）   

【解析】解：圆锥底面半径为1，母线长为2，

则圆锥的侧面积为 。

故答案为：C．

【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面积的公式，从而求出圆锥的侧面积。

3. （2021·榆林模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1  ， 则异面直线A1N与CM所成角的正切值为（    ） 

A.                                         B.                                         

C.                                         D. 

【答案】 D  

【考点】棱锥的结构特征，异面直线及其所成的角   

【解析】解：在棱AA1上取一点D，使得AD＝1，连结CD，DM，

则CD＝DM＝ ， ，CD∥A1N，所以∠DCM即为A1N与CM所成的角，

取CM的中点E，连结DE，所以 ，

故 ，所以异面直线A1N与CM所成角的正切值为 ．

故答案为：D．

【分析】由直三棱锥的几何性质，即可得出线线平行，然后由题意即可得出∠DCM即为A1N与CM所成的角，然后由三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果即可。

4. （2021高一下·西城期末）某圆锥的母线长为 ，底面半径长为 ，则该圆锥的体积为        

A.
B.
C.
D.

【答案】 A  

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）   

【解析】由题意得圆锥的高为 ，

所以圆锥的体积为 。

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合圆锥的体积公式，从而求出圆锥的体积。

5. （2021·安阳模拟）如图，点 在以 为直径的圆 上， ，若以直线 为轴旋转一周，左半圆旋转所形成的几何体的体积为 ， 旋转所形成的几何体的体积为 ，则       . 

【答案】 250π  

【考点】组合几何体的面积、体积问题，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积   

【解析】左半圆旋转一周为球体，

因为 ， 为直径，所以 ，

所以 ，即半径 ，

所以 ，

以直线 为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，

高 ， ，

所以 ，

所以 .

故答案为：250π.

【分析】左半圆旋转一周为球体， 以直线 为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，由球体体积公式和圆锥体积公式计算可得结果。

6. （2021·青海模拟）已知圆锥的侧面积为2π，高为 ，则圆锥的体积为         

【答案】 π  

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）   

【解析】设圆锥的底面半径为R，母线长为l，有 ，解得 ，则圆锥的体积为 。

【分析】利用已知条件结合圆锥侧面积公式和勾股定理，从而求出圆锥的底面半径和母线长，再利用圆锥的体积公式，从而求出圆锥的体积。

7. （2020高一上·河南月考）某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 和 的矩形，则该圆柱其中一个底面的面积为       ．   

【答案】 或   

【考点】棱柱的结构特征   

【解析】设底面半径为 ，

当底面圆周长为4时， ，解得 ，

所以底面圆的面积为 ；

当底面圆周长为3时， ，解得 ，

所以底面圆的面积为 ；

所以底面圆的面积为 或 ．

故答案为： 或 ．

【分析】 讨论底面圆周长为4和3时，分别求出底面圆的半径和面积.

8. （2021高一下·安达期末）已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为      .   

【答案】   

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）   

【解析】由题意得 ，圆锥的体积为
故答案为：

【分析】根据圆锥的结构特征，结合圆锥的侧面积与体积公式求解即可.

9. （2021高一下·常州期末）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点， 垂直于圆 所在的平面，且 ． 

（1）若 为线段 的中点，求证：平面   平面 ；   

（2）若 ，点 是线段 上的动点，求 的最小值．   

【答案】 （1）解：在 中，因为 ，  为 的中点， 

所以 ．     

又 垂直于圆 所在的平面，因为 圆 所在的平面，所以 ．

因为 ，所以 平面 ，

因为 平面 ，所以平面   平面 ．
（2）在 中， ， ，所以 ． 

同理 ，所以 ．

在三棱锥 中，将侧面 绕 旋转至平面 ，使之与平面 共面，

如图所示．当 ， ， 共线时， 取得最小值．  

又因为 ， ，所以 垂直平分 ，即 为 中点．

从而 ，

亦即 的最小值为 ．

【考点】棱锥的结构特征，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定   

【解析】 (1)根据题意由中点的性质得出线线垂直，再由圆的几何性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由三角形的几何计算关系结合勾股定理计算出边的大小，然后由三棱锥的几何性质结合已知条件即可得出当 ， ， 共线时， 取得最小值，再由已知条件即可得出 即 为 中点，结合中点的性质即可计算出结果即可。

10. （2021高一下·通化期中）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱， 

（1）求圆锥的体积；    

（2）求圆柱的表面积.   

【答案】 （1）解：由已知得圆锥的高    

圆锥底面积

圆锥的体积
（2）解：由（1）知，圆柱的高与圆锥的高的比为1:2 

则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为1:2

所以圆柱的底面半径为1

则圆柱的表面积等于

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）   

【解析】（1）由圆锥的体积公式直接求解即可；
（2）由圆柱的表面积公式公式直接求解即可.

11. （2020高二上·池州期末）已知圆台上、下底面的底面积分别为 ， ，且母线长为13．   

（1）求圆台的高；   

（2）求圆台的侧面积．   

【答案】（1）解：依题意，圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，故圆台的高

（2）解：圆台的侧面积   

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）   

【解析】（1）利用已知条件结合圆的面积公式，进而求出圆台的上底面半径和下底面半径，再利用勾股定理求出圆台的高。
（2）再根据（1）求出的圆台的高和已知条件，再结合圆台的侧面积公式，进而求出圆台的侧面积。

12. （2020高一上·河南月考）如图，正方体 的棱长为 分别是 的中点． 

（1）求证： 四点共面；   

（2）已知 在棱 上，求四面体 的体积．   

【答案】（1）证明：连接 ， 且 ， 

四边形 是平行四边形， ，

又 分别为 中点， ，

四点共面．
（2）解：由题意，得 的面积 ， 

又 平面 ，且 ，

四面体 的体积 ．

【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积   

【解析】(1) 连接  ，推导出 四边形  是平行四边形 ，从而A1D// B1C,由中位线定理得ME/// B1C,从而ME // A1D,由此能证明A1,D, M, E四点共面；
(2)求出△BMN的面积，推导出  平面   ,且 ,由此能求出四面体  的体积。