2021学年第十四章 三角形综合与测试同步训练题
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这是一份2021学年第十四章 三角形综合与测试同步训练题,共39页。试卷主要包含了尺规作图等内容,欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测评
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、三角形的外角和是( )
A.60° B.90° C.180° D.360°
2、如图,是等边三角形,点在边上,,则的度数为( ).
A.25° B.60° C.90° D.100°
3、我们称网格线的交点为格点.如图,在4×4的长方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网格中再找一个格点C,使得△ABC是等腰直角三角形,则满足条件的格点C的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4、如图,ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,DH⊥BC于H,交BE于G,下列结论中正确的是( )
①BCD为等腰三角形;②BF=AC;③CE=BF;④BH=CE.
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
5、三根小木棒摆成一个三角形,其中两根木棒的长度分别是和,那么第三根小木棒的长度不可能是( )
A. B. C. D.
6、如图,,点E在线段AB上,,则的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
7、下列各条件中,不能作出唯一的的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
8、在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则∠C=( )
A.70° B.80° C.100° D.120°
9、尺规作图:作角等于已知角.示意图如图所示,则说明的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
10、将三根木条钉成一个三角形木架,这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,BD,CE是等边三角形ABC的中线,BD,CE交于点F,则______°.
2、在平面直角坐标系中,,,,,则点的坐标为__________.
3、如图,在△中,已知点分别为的中点,若△的面积为,则阴影部分的面积为 _________
4、在新年联欢会上,老师设计了“你说我画”的游戏.游戏规则如下:甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形.已知乙同学说出的前两个条件是“,”.现仅存下列三个条件:①;②;③.为了甲同学画出形状和大小都确定的,乙同学可以选择的条件有: ______.(填写序号,写出所有正确答案)
5、如图,,的平分线交于点,是上的一点,的平分线交于点,且,下列结论:
①平分;
②;
③与互余的角有个;
④若,则.
其中正确的是________.(请把正确结论的序号都填上)
三、解答题(10小题,每小题5分,共计50分)
1、如图,在四边形ABCD中,点E在BC上,连接DE、AC相交于点F,∠BAE=∠CAD,AB=AE,AD=AC.
(1)求证:∠DEC=∠BAE;
(2)如图2,当∠BAE=∠CAD=30°,AD⊥AB时,延长DE、AB交于点G,请直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形.
2、如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC边上的点,并且MN∥BC.
(1)△AMN是否是等腰三角形?说明理由;
(2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.
①求证:△BPM是等腰三角形;
②若△ABC的周长为a,BC=b(a>2b),求△AMN的周长(用含a,b的式子表示).
3、在等腰中,,点D是BC边上的一个动点(点D不与点B,C重合),连接AD,作等腰,使,,点D,E在直线AC两旁,连接CE.
(1)如图1,当时,直接写出BC与CE的位置关系;
(2)如图2,当时,过点A作于点F,请你在图2中补全图形,用等式表示线段BD,CD,之间的数量关系,并证明.
4、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程.
已知:如图,钝角.
求作:射线OC,使.
作法:如图,
①在射线OA上任取一点D;
②以点О为圆心,OD长为半径作弧,交OB于点E;
③分别以点D,E为圆心,大于长为半径作弧,在内,两弧相交于点C;
④作射线OC.
则OC为所求作的射线.
完成下面的证明.
证明:连接CD,CE
由作图步骤②可知______.
由作图步骤③可知______.
∵,
∴.
∴(________)(填推理的依据).
5、已知AMCN,点B在直线AM、CN之间,AB⊥BC于点B.
(1)如图1,请直接写出∠A和∠C之间的数量关系: .
(2)如图2,∠A和∠C满足怎样的数量关系?请说明理由.
(3)如图3,AE平分∠MAB,CH平分∠NCB,AE与CH交于点G,则∠AGH的度数为 .
6、直线l经过点A,在直线l上方,.
(1)如图1,,过点B,C作直线l的垂线,垂足分别为D、E.求证:
(2)如图2,D,A,E三点在直线l上,若(为任意锐角或钝角),猜想线段DE、BD、CE有何数量关系?并给出证明.
(3)如图3,过点B作直线l上的垂线,垂足为F,点D是BF延长线上的一个动点,连结AD,作,使得,连结DE,CE.直线l与CE交于点G.求证:G是CE的中点.
7、命题:如图,已知,共线,(1),那么.
(1)从①和②两个条件中,选择一个填入横线,使得上述命题为真命题,你选择的条件为_______(填序号);
(2)根据你选择的条件,判定的方法是________;
(3)根据你选择的条件,完成的证明.
8、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点为格点,线段的端点都在格点上.要求以为边画一个等腰,且使得点为格点.请在下面的网格图中画出3种不同的等腰.
9、阅读下面材料:活动1利用折纸作角平分线
①画图:在透明纸片上画出(如图1-①);②折纸:让的两边QP与QR重合,得到折痕QH(如图1-②);③获得结论:展开纸片,QH就是的平分线(如图1-③).
活动2利用折纸求角
如图2,纸片上的长方形ABCD,直线EF与边AB,CD分别相交于点E,F.将对折,点A落在直线EF上的点处,折痕EN与AD的交点为N;将对折,点B落在直线EF上的点处,折痕EM与BC的交点为M.这时的度数可知,而且图中存在互余或者互补的角.
解答问题:(1)求的度数;
(2)①图2中,用数字所表示的角,哪些与互为余角?
②写出的一个补角.
解:(1)利用活动1可知,EN是的平分线,EM是的平分线,所以 , .由题意可知,是平角.所以(∠ +∠ )= °.
(2)①图2中,用数字所表示的角,所有与互余的角是: ;
②的一个补角是 .
10、如图,是等边三角形,,分别交AB,AC于点D,E.
(1)求证:是等边三角形;
(2)点F在线段DE上,点G在外,,,求证:.
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得.
【详解】
解:如图,,
,
又,
,
即三角形的外角和是,
故选:D.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质,熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键.
2、D
【分析】
由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果.
【详解】
∵是等边三角形
∴∠C=60°
∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°
故选:D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质,掌握这两个性质是关键.
3、A
【分析】
根据题意,结合图形,分两种情况讨论:①AB为等腰直角△ABC底边;②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰.
【详解】
解:如图:分情况讨论:
①AB为等腰直角△ABC底边时,符合条件的格点C点有0个;
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时,符合条件的格点C点有3个.
故共有3个点,
故选:A.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.
4、C
【分析】
根据∠ABC=45°,CD⊥AB可得出BD=CD;利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC,从而得出BF=AC;再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC,即可得到CE=BF;由CE=BF,BH=BC,在三角形BCF中,比较BF、BC的长度即可得到CE<BH.
【详解】
解:∵CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD,故①正确;
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
∵∠DBF=90°﹣∠BFD,∠DCA=90°﹣∠EFC,且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD,
∴△DFB≌△DAC.
∴BF=AC,故②正确;
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
∴CE=AC=BF,故③正确;
∵CE=AC=BF,BH=BC,
在△BCF中,∠CBE=∠ABC=22.5°,∠DCB=∠ABC=45°,
∴∠BFC=112.5°,
∴BF<BC,
∴CE<BH,故④错误;
故选:C.
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.在复杂的图形中有45°的角,有垂直,往往要用到等腰直角三角形,要注意掌握并应用此点.
5、D
【分析】
设第三根木棒长为x厘米,根据三角形的三边关系可得8﹣5<x<8+5,确定x的范围即可得到答案.
【详解】
解:设第三根木棒长为x厘米,由题意得:
8﹣5<x<8+5,即3<x<13,
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系,要注意三角形形成的条件:任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边.
6、C
【分析】
根据全等三角形的性质可证得BC=CE,∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可.
【详解】
解:∵,
∴BC=CE,∠ACB=∠DCE,
∴∠B=∠BEC,∠ACD=∠BCE,
∵,
∴∠ACD=∠BCE=180°-2×75°=30°,
故选:C.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键.
7、B
【分析】
根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果.
【详解】
解:A、,不能组成三角形;
B、根据不可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
C、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
D、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形;
故答案为:B.
【点睛】
本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系,解题关键在于对全等判定条件的理解.
8、D
【分析】
根据三角形的内角和,①,进而根据已知条件,将代入①即可求得
【详解】
解:∵在△ABC中,,∠A=∠B=∠C,
∴
解得
故选D
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理,掌握三角形内角和定理是解题的关键.
9、A
【分析】
利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′,CD=C′D′,则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′,然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′=∠AOB.
【详解】
解:由作法可得OD=OC=OD′=OC′,CD=C′D′,
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′,
所以∠A′OB′=∠AOB.
故选:A.
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图和全等三角形的判定与性质,解题关键是熟练掌握基本作图和全等三角形的判定定理.
10、A
【分析】
根据三根木条即为三角形的三边长,利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得.
【详解】
解:三根木条即为三角形的三边长,
即为利用确定三角形,
故选:A.
【点睛】
题目主要考查利用全等三角形判定确定唯一三角形,熟练掌握全等三角形的判定是解题关键.
二、填空题
1、120
【分析】
等边三角形中线与角平分线合一,有,,由可求得结果.
【详解】
解:∵是等边三角形
∴
∵BD,CE是等边三角形ABC的中线
∴
又∵
∴
故答案为:.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,角度的计算.解题的关键在于熟练利用等边三角形三线合一的性质.
2、
【分析】
按照在x轴的上下方,分成两类情况讨论,如解析中的图像所示,分别利用边和角证明和成立,然后根据对应边相等,即可求出两种情况对应的点B的坐标.
【详解】
解:如下图所示:
由,可知:,.
当B点在x轴下方时,过点B1向x轴作垂线,垂足为E.
,
在与中:
,
点坐标为
当B点在x轴上方时,过点B2向x轴作垂线,垂足为D.
由题意可知:
在与中
,
点坐标为
故答案为:或.
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质以及坐标点的求解,熟练利用全等三角形证明边相等,进而利用边长求解点的坐标,这是解决该题的关键.
3、1
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.
【详解】
解:∵点E是AD的中点,
∴S△ABE=S△ABD,S△ACE=S△ADC,
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×4=2cm2,
∴S△BCE=S△ABC=×4=2cm2,
∵点F是CE的中点,
∴S△BEF=S△BCE=×2=1cm2.
故答案为:1.
【点睛】
本题考查了三角形的面积,主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形,原理为等底等高的三角形的面积相等.
4、②
【分析】
根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,即可求解.
【详解】
解:①若选,是边边角,不能得到形状和大小都确定的;
②若选,是边角边,能得到形状和大小都确定的;
③若选,是边边角,不能得到形状和大小都确定的;
所以乙同学可以选择的条件有②.
故答案为:②
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定,熟练掌握两边及其夹角对应相等的两个三角形全等是解题的关键.
5、①②
【分析】
由BD⊥BC及BD平分∠GBE,可判断①正确;由CB平分∠ACF、AE∥CF及①的结论可判断②正确;由前两个的结论可对③作出判断;由AE∥CF及AC∥BG、三角形外角的性质可求得∠BDF,从而可对④作出判断.
【详解】
∵BD平分∠GBE
∴∠EBD=∠GBD=∠GBE
∵BD⊥BC
∴∠GBD+∠GBC=∠CBD=90°
∴∠DBE+∠ABC=90°
∴∠GBC=∠ABC
∴BC平分∠ABG
故①正确
∵CB平分∠ACF
∴∠ACB=∠GCB
∵AE∥CF
∴∠ABC=∠GCB
∴∠ACB=∠GCB=∠ABC=∠GBC
∴AC∥BG
故②正确
∵∠DBE+∠ABC=90°,∠ACB=∠GCB=∠ABC=∠GBC
∴与∠DBE互余的角共有4个
故③错误
∵AC∥BG,∠A=α
∴∠GBE=α
∴
∵AE∥CF
∴∠BGD=180°-∠GBE=180°−α
∴∠BDF=∠GBD+∠BGD=
故④错误
即正确的结论有①②
故答案为:①②
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质,互余概念,垂直的定义,角平分线的性质等知识,掌握这些知识并正确运用是关键.
三、解答题
1、(1)见解析;(2)△AEF、△ADG、△DCF、△ECD
【分析】
(1)根据已知条件得到∠BAE=∠CAD,根据全等三角形的性质得到∠AED=∠ABC,根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠AEB,于是得到结论;
(2)根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
证明:(1)如图1,∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
即∠BAC=∠EAD,
在△AED与△ABC中,
∴△AED≌△ABC,
∴∠AED=∠ABC,
∵∠BAE+∠ABC+∠AEB=180°,
∠CED+∠AED+∠AEB=180°,
∵AB=AE,
∴∠ABC=∠AEB,
∴∠BAE+2∠AEB=180°,
∠CED+2∠AEB=180°,
∴∠DEC=∠BAE;
(2)解:如图2,
①∵∠BAE=∠CAD=30°,
∴∠ABC=∠AEB=∠ACD=∠ADC=75°,
由(1)得:∠AED=∠ABC=75°,
∠DEC=∠BAE=30°,
∵AD⊥AB,
∴∠BAD=90°,
∴∠CAE=30°,
∴∠AFE=180°−30°−75°=75°,
∴∠AEF=∠AFE,
∴△AEF是等腰三角形,
②∵∠BEG=∠DEC=30°,∠ABC=75°,
∴∠G=45°,
在Rt△AGD中,∠ADG=45°,
∴△ADG是等腰直角三角形,
③∠CDF=75°−45°=30°,
∴∠DCF=∠DFC=75°,
∴△DCF是等腰直角三角形;
④∵∠CED=∠EDC=30°,
∴△ECD是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定,等腰三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
2、
(1)△AMN是是等腰三角形;理由见解析;
(2)①证明见解析;②a﹣b.
【分析】
(1)由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB,由平行线的性质得到∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠ACB,于是得到∠AMN=∠ANM,根据等角对等边即可证得结论;
(2)①由角平分线的定义得到∠PBM=∠PBC,由平行线的性质得到∠MPB=∠PBC,于是得到∠PBM=∠MPB,根据等角对等边即可证得结论;
②由①知MB=MP,同理可得:NC=NP,故△AMN的周长=AB+AC,再根据已知条件即可求出结果.
(1)
解:△AMN是是等腰三角形,
理由如下:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠ACB,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AM=AN,
∴△AMN是等腰三角形;
(2)
①证明:∵BP平分∠ABC,
∴∠PBM=∠PBC,
∵MN∥BC,
∴∠MPB=∠PBC
∴∠PBM=∠MPB,
∴MB=MP,
∴△BPM是等腰三角形;
②由①知MB=MP,
同理可得:NC=NP,
∴△AMN的周长=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC,
∵△ABC的周长为a,BC=b,
∴AB+AC+b=a,
∴AB+AC=a﹣b
∴△AMN的周长=a﹣b.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,列代数式,能够灵活应用这些性质是解决问题的关键.
3、
(1)
(2)或,见解析
【分析】
(1)根据已知条件求出∠B=∠ACB=45°,证明△BAD≌△CAE,得到∠ACE=∠B=45°,求出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即可得到结论;
(2)根据题意作图即可,证明≌.得到,,,推出.延长EF到点G,使,证明≌,推出.由此得到.同理可证.
(1)
解:,,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵,
∴,即∠BAD=∠CAE,
∵,,
∴△BAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠B=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
∴;
(2)
解:如图,补全图形;
.
证明:∵,
∴.
又∵,,
∴≌.
∴,,.
∵,
∴.
∴.
延长EF到点G,使.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴≌.
∴.
∵,
∴.
如图,同理可证.
.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质,熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键.掌握分类思想解题是难点.
4、OE; CE;全等三角形的对应角相等
【分析】
根据圆的半径相等可得OD=OE,CD=CE,再利用SSS可证明,从而根据全等三角形的性质可得结论.
【详解】
证明:连接CD,CE
由作图步骤②可知___OE___.
由作图步骤③可知__CE___.
∵,
∴.
∴(__全等三角形对应角相等__)
故答案为:OE; CE;全等三角形的对应角相等
【点睛】
本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了全等三角形的判定和性质.
5、(1)∠A+∠C=90°;(2)∠C﹣∠A=90°,见解析;(3)45°
【分析】
(1)过点B作BE∥AM,利用平行线的性质即可求得结论;
(2)过点B作BE∥AM,利用平行线的性质即可求得结论;
(3)利用(2)的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论.
【详解】
(1)过点B作BE∥AM,如图,
∵BE∥AM,
∴∠A=∠ABE,
∵BE∥AM,AM∥CN,
∴BE∥CN,
∴∠C=∠CBE,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠A+∠C=∠ABE+∠CBE=∠ABC=90°.
故答案为:∠A+∠C=90°;
(2)∠A和∠C满足:∠C﹣∠A=90°.理由:
过点B作BE∥AM,如图,
∵BE∥AM,
∴∠A=∠ABE,
∵BE∥AM,AM∥CN,
∴BE∥CN,
∴∠C+∠CBE=180°,
∴∠CBE=180°﹣∠C,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∴∠A+180°﹣∠C=90°,
∴∠C﹣∠A=90°;
(3)设CH与AB交于点F,如图,
∵AE平分∠MAB,
∴∠GAF=∠MAB,
∵CH平分∠NCB,
∴∠BCF=∠BCN,
∵∠B=90°,
∴∠BFC=90°﹣∠BCF,
∵∠AFG=∠BFC,
∴∠AFG=90°﹣∠BCF.
∵∠AGH=∠GAF+∠AFG,
∴∠AGH=∠MAB+90°﹣∠BCN=90°﹣(∠BCN﹣∠MAB).
由(2)知:∠BCN﹣∠MAB=90°,
∴∠AGH=90°﹣45°=45°.
故答案为:45°.
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质,由题作出辅助线是解题的关键.
6、(1)见解析;(2)猜想:,见解析;(3)见解析
【分析】
(1)先证明和,再根据证明即可;
(2)根据AAS证明得,,进一步可得出结论;
(3)分别过点C、E作,,同(1)可证,,得出CM=EN,证明得,从而可得结论.
【详解】
解:(1)证明:∵,,
∴,
∴
∵,
∴
∴,
在与中
,
∴
(2)猜想:,
∵
∴,
∴,
在与中
∴,
∴,,
∴
(3)分别过点C、E作,,
同(1)可证,,
∴,
∴,
∵,,
∴
在与中
∴,
∴,
∴G为CE的中点.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系,证得△ABD≌△CAE是解决问题的关键.
7、
(1)①
(2)SAS
(3)见解析
【分析】
(1)根据全等三角形的判定方法分析得出答案;
(2)根据(1)直接填写即可;
(3)利用SAS进行证明.
(1)
解:∵,
∴∠A=∠F,
∵AC=EF,
∴当时,可根据SAS证明;
当时,不能证明,
故答案为:①;
(2)
解:当时,可根据SAS证明,
故答案为:SAS;
(3)
证明:在△ABC和△FDE中,
,
∴.
【点睛】
此题考查了添加条件证明两个三角形全等,正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
8、答案见解析
【分析】
AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线,因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可
【详解】
解:如图,
……
[答案不唯一]
【点睛】
本题考查等腰三角形的绘图,掌握等边三角形和等腰三角形性质即可.
9、(1),,,90;(2)①∠1、∠2;②∠CME或∠NEB.
【分析】
【详解】
解:(1)∵折叠
∴EN是的平分线,EM是的平分线,
∴∠NEA=∠NEA′=,∠BEM=∠B′EM=,
∵是平角.
∴∠NEM=∠NEA′+∠B′EM==+,
故答案为:,,,90;
(2)①∵∠1=∠2,∠A′EN=∠3,∠NEM=90°,
∴∠A′EN+∠1=∠NEM=90°,
∴互为余角为∠1和∠2,
故答案为:∠1、∠2;
②∵∠A′EN=∠3,∠3+∠NEB=180°,
∴∠A′EN的补角为∠NEB.
∵∠B=90°,
∴∠2+∠EMB=90°,
∴∠3=∠EMB,
∵∠CME+∠EMB=180°,
∴∠3+∠CME=180°,
∴∠A′EN的补角为∠CME,
∴∠A′EN的补角为∠CME或∠NEB.
故答案为∠CME或∠NEB.
【点睛】
本题考查折叠性质,平角,角平分线,余角性质,补角性质,掌握折叠性质,平角,角平分线,余角性质,补角性质是解题关键.
10、(1)见详解;(2)见详解
【分析】
(1)由题意易得,然后根据平行线的性质可得,进而问题可求证;
(2)连接AG,由题意易得AB=AC,然后可知△ABF≌△ACG,则有AF=AG,进而可得∠FAG=60°,最后问题可求证.
【详解】
证明:(1)∵是等边三角形,
∴,
∵DE∥BC,
∴,
∴,
∴是等边三角形;
(2)连接AG,如图所示:
∵是等边三角形,
∴,AB=AC,
∵,,
∴△ABF≌△ACG(SAS),
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴.
【点睛】
本题主要考查全等三角形及等边三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形及等边三角形的性质与判定是解题的关键.
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