人教版 (新课标)必修12 匀变速直线运动的速度与时间的关系学案及答案

匀变速直线运动的速度与时间的关系

一、匀变速直线运动

物体的速度—时间图象有什么特点？它反映了物体在做什么样的运动？

提示：为一条倾斜的直线，图象斜率不变，反映物体在做匀加速运动。

1．定义：沿着一条直线，且加速度恒定不变的运动，叫作匀变速直线运动。

2．特点：

(1)运动轨迹：沿直线运动。

(2)速度：速度随时间均匀变化(选填“不变”或“均匀变化”)。

(3)加速度：加速度恒定不变(选填“恒定不变”或“变化”)。

3．分类：

(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增大，加速度方向与速度方向相同。

(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小，加速度方向与速度方向相反。

4．v­t图象：

匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。v­t图象反映了物体的速度随时间的变化规律，其中图线与纵轴的交点(即截距)表示物体的初速度，直线的倾斜程度(即斜率)表示加速度的大小和方向(加速度的正负与斜率的正负相对应)。

二、匀变速直线运动的速度与时间的关系式

1．速度公式：v＝v0＋at。

2．表达式中各物理量符号的含义：

(1)v0和v分别表示物体做匀变速直线运动的初速度和末速度。

(2)a表示物体做匀变速直线运动的加速度。

(1)速度公式v＝v0＋at既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。(√)

(2)加速度为负时，末速度一定小于初速度。(×)

(3)加速度越大，物体的末速度一定越大。(×)

知识点一　速度—时间图象

　如图所示是两辆车运动的v ­t图像，假设甲、乙两辆车从同一出发点运动。

探究：(1)甲、乙两车谁的速度大？

(2)出发后一段时间两辆车的距离怎样变化？

提示：(1)乙的速度大于甲的速度。

(2)出发后运动一段时间甲、乙两车的距离越来越大。

【典例】(多选)一物体做匀变速直线运动的v ­t图象如图所示，从计时开始，到速度大小变为10 m/s所需时间可能为(　　)

A．4 s　　    B．6 s

C．14 s         D．10 s

【解析】选A、C。根据图象可知，物体的初速度为18 m/s，物体速度随时间均匀减小，做匀减速直线运动，速度时间图线的斜率表示加速度，则有： a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，所以物体做初速度为18 m/s，加速度为－2 m/s2的匀变速直线运动；速度大小变为10 m/s，则v＝±10 m/s，根据v＝v0＋at解得： t＝4 s或14 s，故A、C正确，B、D错误。

某质点做直线运动的v­t图象如图所示，则该质点(　　)

A．在0～4 s内和4～8 s内的加速度方向相反

B．4 s时的速度为零，加速度也为零

C．质点在第8 s末的时候加速度的方向发生改变

D．在前12 s内始终朝着同一个方向行驶

【解析】选C。因v­t图象的斜率等于加速度，可知在0～4 s内和4～8 s内图象的斜率均为正，即加速度方向相同，选项A错误；4 s时的速度为零，但是加速度不为零，选项B错误；因为v­t图象的斜率等于加速度，0～8 s内图象的斜率为正，8 s后图象斜率为负，则在第8 s末的时候加速度的方向发生改变，选项C正确；由图象可知，前4 s内质点的速度为负值，朝着反方向运动，4～10 s内质点的速度为正值，朝着正方向运动，而10～12 s内质点的速度为负值，朝着反方向运动，因此质点的运动方向改变了两次，选项D错误。

【加固训练】

1．如图所示是几个质点的运动图象，其中是匀变速直线运动的是(　　)

A.甲、乙、丙　　 B．甲、乙、丁

C．甲、丙、丁     D．乙

【解析】选A。匀变速直线运动的v ­t图象为倾斜直线，a­t图象为平行于t轴的直线，故所给图中甲、乙、丙表示物体做匀变速直线运动，而丁表示物体做变加速运动，故A项正确。

2．一质点沿直线运动，其v ­t图象如图所示。由图象可知(　　)

A．在0～2 s内质点做匀速直线运动

B．在2～4 s内质点做匀加速直线运动

C．质点2 s末的速度大于4 s末的速度

D．质点5 s末的速度大小为15 m/s

【解析】选D。在0～2 s内，质点速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动，故A错误。在2～4 s内质点速度随时间不变，做匀速直线运动，故B错误。由图象知，质点2 s末和4 s末的速度相同，故C错误。由图象知，质点5 s末的速度大小为15 m/s，故D正确。

知识点二　匀变速直线运动速度公式

1．公式的适用条件：公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。

2．公式的矢量性：

(1)公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向。

(2)一般以v0的方向为正方向，此时若为匀加速直线运动，则a>0，若为匀减速直线运动，则a<0；对于计算结果v>0，说明v与v0方向相同；v<0，说明v与v0方向相反。

3．两种特殊情况：

(1)当v0＝0时，v＝at。

由于匀变速直线运动的加速度恒定不变，表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。

(2)当a＝0时，v＝v0。

加速度为零的运动是匀速直线运动，也表明匀速直线运动是匀变速直线运动的特例。

　汽车以20 m/s的速度匀速行驶，现以4.0 m/s2的加速度开始刹车，则刹车后3 s末和6 s末的速度大小各是多少？

提示：以初速度v0＝20 m/s的方向为正方向，则加速度a＝－4.0 m/s2，由速度公式v＝v0＋at，可知刹车后3 s末的速度 v3＝v0＋at3＝20 m/s－4.0×3 m/s＝8 m/s，6 s末的速度，v6＝v0＋at6＝20 m/s－4.0×6 m/s＝－4 m/s，因为汽车不可能反方向倒车，故 6 s末的速度为零。

【典例】汽车以40 km/h的速度匀速行驶。

(1)若汽车以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s后速度能达到多少？

(2)若汽车刹车以0.6 m/s2的加速度减速，则10 s后速度减为多少？

(3)若汽车刹车以3 m/s2的加速度减速，则10 s后速度为多少？

【解析】v0＝40 km/h≈11 m/s

(1)10 s末的速度：

v＝v0＋at＝11 m/s＋0.6×10 m/s＝17 m/s

(2)汽车速度减为零的时间：

t0＝＝ s＝18.3 s

则10 s末的速度：

v1＝v0＋a1t＝11 m/s－0.6×10 m/s＝5 m/s

(3)汽车速度减为零的时间：

t0′＝＝ s≈3.7 s＜10 s

则10 s末时，汽车早已停止，速度为0。

答案：(1)17 m/s　(2)5 m/s　(3)0

　一个质点以初速度v0＝10 m/s在平直的路面上运动，某时刻起，获得一个与初速度方向相反、大小为2.5 m/s2的加速度，从开始获得加速度的时刻开始计时，求第1 s末和第6 s末的速度。

【解析】质点从获得反向加速度起做匀减速直线运动，以初速度方向为正方向，

由vt＝v0＋at得第1 s末的速度：

v1＝10 m/s＋(－2.5)×1 m/s＝7.5 m/s

方向与v0的方向相同；第6 s末的速度：

v6＝10 m/s＋(－2.5)×6 m/s＝－5 m/s

负号表示6 s末的速度方向与v0的方向相反。

答案：7.5 m/s，方向与v0的方向相同

5 m/s，方向与v0的方向相反

【加固训练】

1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是(　　)

A．加速度大的物体其运动速度一定大

B．加速度小的物体其运动速度一定小

C．匀加速直线运动中，物体的加速度方向与速度方向相同

D．加速度的方向就是初速度的方向

【解析】选C。加速度是反映速度变化快慢的物理量，与速度的大小无关，加速度大，速度不一定大，加速度小，速度不一定小，故A、B错误。匀加速直线运动中，加速度的方向与速度方向相同，故C正确。加速度的方向可能与初速度方向相同，可能与初速度方向相反，故D错误。

2．某质点的速度随时间变化的关系是v＝5.5－2t，v与t的单位分别是m/s和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)

A．5.5 m/s与－2 m/s2       B．5.5 m/s与2 m/s2

C．0与－2 m/s2           D．0与2 m/s2

【解析】选A。根据速度时间公式得：v＝v0＋at＝5.5－2t，解得质点的初速度为v0＝5.5 m/s，加速度为a＝－2 m/s2，故A正确，B、C、D错误。

【拓展例题】考查内容：匀变速直线运动中的多解问题

【典例】如图所示，小球以6 m/s的速度由足够长的光滑斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为2 m/s2，则小球的速度大小何时达到3 m/s？(小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不改变)

【解析】小球先沿斜面向上做匀减速直线运动，速度由6 m/s逐渐减小为零，然后又反向做匀加速直线运动，取沿斜面向上的方向为正方向，则v0＝6 m/s，a＝－2 m/s2，小球的速度大小为3 m/s，有两种情况：向上滑时v1＝3 m/s，

向下滑时v2＝－3 m/s。

由公式v＝v0＋at得t＝

所以t1＝＝s＝1.5 s

t2＝＝s＝4.5 s

答案：1.5 s或4.5 s

　如图所示，你坐在沿直线行驶的汽车中，能看到：汽车启动时，速度计的指针顺时针方向转动；刹车时，速度计的指针逆时针方向转动。

探究：

(1)如何根据此现象判断汽车的运动是不是匀变速直线运动呢？

(2)如果汽车做的是匀减速直线运动，加速度如何变化？

【解析】(1)若速度计的指针随时间均匀变化，则汽车做的是匀变速直线运动，若速度计的指针随时间变化不均匀，则汽车做的不是匀变速直线运动；

(2)加速度不变。

答案：见解析

　某汽车在平直路面上紧急刹车时，加速度的大小是6 m/s2 ，如图所示，如果遇紧急情况必须在2 s内停下来，汽车的行驶速度最高不能超过多少？若汽车的速度为15 m/s，会发生碰撞事故吗？

【解析】刹车加速度为负，停止时速度为0。

由vt＝v0＋at知

v0＝－at＝6×2 m/s＝12 m/s。

15 m/s>12 m/s，会发生碰撞事故。

答案：12 m/s　会发生碰撞事故

1．物体做匀加速直线运动，已知加速度为2 m/s2，那么(　　)

A．在任意时间内，物体的末速度一定等于初速度的2倍

B．在任意时间内，物体的末速度一定比初速度大2 m/s

C．在任意一秒内，物体的末速度一定比初速度大2 m/s

D．第n s的初速度一定比第(n－1) s的末速度大2 m/s

【解析】选C。由速度公式vt＝v0＋at可知，在任意时间t内，vt为任意值，所以A错；在一定时间t内的速度增量Δv＝vt－v0＝at，它的大小既与a有关，又与t有关，当t为任意值时，Δv也为任意值，因此B错；当t＝1 s，a＝2 m/s2时，Δv＝2 m/s，即末速度比初速度大2 m/s，所以C正确；由于第n s初和第(n－1) s末是同一时刻，同一时刻对应的速度是相同的，因此D错。

2.如图为某物体做直线运动的v­t图象，关于物体在前4 s的运动情况，下列说法正确的是(　　)

A．物体始终向同一方向运动

B．物体的加速度大小不变，方向与初速度方向相同

C．物体在前2 s内做减速运动

D．物体在前2 s内做加速运动

【解析】选C。由图象可以看出，前2 s内，物体沿负方向运动，后2 s内物体沿正方向运动，运动方向发生了改变，故A错误；速度图象的斜率表示加速度，直线的斜率不变，说明物体的加速度大小和方向都不变，加速度始终沿正方向，而物体的初速度方向沿负方向，所以加速度方向与初速度方向相反，故B错误；由图象可知，在前2 s内物体向负方向做匀减速直线运动，故C正确、D错误。

3.如图为一质点在0～22 s时间内直线运动的v­t图象，则下列说法正确的

是(　　)

A．CD段和DE段的加速度方向相同

B．整个过程中，BC段的加速度最大

C．整个过程中，OA段加速度最小，大小为1 m/s2

D．质点在DE段的加速度为6 m/s2

【解析】选A。根据速度图象的斜率等于加速度，可知，CD段和DE段的加速度相同，即大小和方向都相同，故A正确；由图看出，CD段和DE段的斜率数值最大，根据速度图象的斜率等于加速度，可知，CD段和DE段的加速度数值最大，故B错误；由图象知AB段与时间轴平行，因此AB段加速度最小，其大小为0，故C错误；根据图象可知，DE段a′＝ m/s2＝－6 m/s2，故其大小为6 m/s2，故D错误。

【加固训练】

(多选)如图所示为某运动物体的速度－时间图象，下列说法中正确的是(　　)

A．物体以某初速度开始运动，在0～2 s内加速运动，2～4 s内静止，4～6 s内减速运动

B．物体在0～2 s内的加速度是2.5 m/s2，2～4 s内的加速度为零，4～6 s内的加速度是－10 m/s2

C．物体在4.5 s时的速度为5 m/s

D．物体在0～6 s内始终向同一方向运动

【解析】选B、C。由题图可知，物体在2～4 s内，速度不变，故物体做匀速直线运动，不是静止，故A错误。速度－时间图象中图线的斜率表示加速度，则物体在0～2 s内的加速度a＝m/s2＝2.5 m/s2；2～4 s内的加速度为零；4～6 s内的加速度a′＝m/s2＝－10 m/s2，故B正确。物体在4.5 s时的速度为5 m/s，C正确。物体在0～5 s内向正方向运动，5～6 s 内向负方向运动，故D错误。

4．(2021·银川高一检测)一物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5 s后做匀速直线运动，最后2 s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止。求：

(1)物体做匀速直线运动的速度的大小。

(2)物体做匀减速直线运动时的加速度。

【解析】画出如下的示意图：

设图中A→B做匀加速直线运动，B→C做匀速直线运动，C→D做匀减速直线运动，匀速运动的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度。

(1)由速度、时间的关系式得

vB＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s

vC＝vB＝10 m/s

即做匀速直线运动的速度为10 m/s

(2)由vD＝vC＋a2t2得

a2＝＝ m/s2＝－5 m/s2

负号表示加速度方向与vC方向相反。

答案：(1)10 m/s

(2)5 m/s2，加速度方向与速度方向相反