高中人教版 (新课标)5 自由落体运动导学案及答案

自由落体运动 伽利略对自由落体运动的研究

一、自由落体运动

　让质量相同的纸片和纸团同时从同一高度下落，谁先落地？为什么？

提示：纸团先落地，纸片受到空气阻力影响大。

1．自由落体运动的条件：

(1)运动：从静止开始运动。

(2)受力：物体只受重力。

2．自由落体运动的特点：初速度为零的匀加速直线运动。

二、自由落体运动的加速度

1．方向：竖直向下。(选填“竖直”或“垂直”)

2．大小：

关于重力加速度的大小，下列说法正确的是④⑤⑥。

①地球上任一点的重力加速度都相同。

②不同的物体重力加速度都相同。

③加速度为g的运动就是自由落体运动。

④在地球上的不同地点，g的大小一般不相等。

⑤一般g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2。

⑥g随纬度的增大而逐渐增大。

三、伽利略对自由落体运动的研究

1．亚里士多德的观点：物体下落的快慢是由它们的重量决定的。

2．伽利略的研究：

(1)归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了亚里士多德的论断。

(2)猜想：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的。

(3)数学推理：伽利略通过数学推理得出初速度为零的匀变速直线运动应有x∝t2。

(4)实验结果。

①小球沿斜面滚下的运动是匀加速直线运动。

②只要斜面的倾角一定，小球的加速度都是相同的。

③增大斜面的倾角，小球的加速度随斜面倾角的增大而增大。

(5)合理外推：伽利略认为当斜面倾角为90°时，小球将自由下落，仍会做匀变速直线运动。

(1)在空气中自由释放的物体做自由落体运动。(×)

(2)物体在真空中一定做自由落体运动。(×)

(3)自由释放的物体只在重力作用下运动一定做自由落体运动。(√)

(4)同一地点，轻重不同的物体自由落体加速度一样大。(√)

知识点一　自由落体运动的条件及模型

1．自由落体运动的条件：

(1)运动条件：初速度为零。

(2)受力条件：除重力外，不受其他力的作用。

2．自由落体运动是一种理想化模型：

(1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。实际中，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动。

(2)当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。

　羽毛和硬币在空气中同时由静止下落，分析哪个是自由落体运动？

提示：羽毛受到的重力略微大于空气阻力，即空气阻力不可忽略，不能看成自由落体运动。硬币受到的重力远大于空气阻力，即空气阻力相对于重力可忽略不计，可近似看作是自由落体运动。

【典例】关于自由落体运动，以下说法正确的是(　　)

A．质量大的物体自由落体时落地速度大

B．雨滴下落的过程是自由落体运动

C．从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动

D．从水龙头上滴落的水滴，在下落过程中，可近似看作自由落体运动

【解析】选D。自由落体运动的落地速度与物体的质量无关，故A错误；雨滴下落过程中，空气阻力不可忽略，故不是自由落体运动，故B错误；从水平飞行着的飞机上释放的物体初速度不为0，故C错误；从水龙头上滴下的水滴下落时，水滴受到的空气阻力可以忽略，可以看成自由落体运动，故D正确。

1.踢毽子是我国民间的一项体育游戏，被人们称为“生命的蝴蝶”。毽子由羽毛和胶垫组成。在下落时总是胶垫在下羽毛在上，如图所示，毽子在下落时，下列说法正确的是(　　)

A．毽子在下落过程中做自由落体运动

B．因为重的物体总是比轻的物体下落得快，所以胶垫总在下

C．如果没有空气阻力，也总是出现胶垫在下羽毛在上的现象

D．因为空气阻力存在，所以总是出现胶垫在下羽毛在上的现象

【解析】选D。毽子在自由下落过程中，羽毛受到了较大的阻力，故不能看作自由落体运动，故A错误；胶垫在下、羽毛在上的原因是胶垫单独下落时加速度大，而不是胶垫重，故B错误；如果没有空气阻力，胶垫和羽毛单独下落的加速度相同，故一起下落时不存在胶垫在下羽毛在上的情况，故C错误，D正确。

2．下列关于自由落体运动的说法正确的是(　　)

A．若两物体从同一高度释放，重的先落地，轻的后落地

B．自由落体运动是匀变速直线运动

C．做自由落体运动的物体除了受重力外还可以受到其他的力

D．物体在真空中的运动都叫作自由落体运动

【解析】选B。物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫作自由落体运动，并且其性质是匀变速直线运动，因此无论物体轻重，当没有空气阻力时物体将同时落地，故A、C错误，B正确；物体在真空中运动的初速度不一定为零，故D错误。

3．(多选)对于从苹果树上同一高度同时落下的苹果和树叶，下列说法正确的是(　　)

A．苹果和树叶的运动都可以看成做自由落体运动

B．苹果可以近似地看成做自由落体运动，树叶不能看成做自由落体运动

C．假如地球上没有空气，则苹果和树叶将同时落地

D．苹果先落地是因为其下落时的重力加速度比树叶的大

【解析】选B、C。从树上落下的苹果所受阻力相对重力很小，可看成做自由落体运动，而从树上落下的树叶所受阻力相对重力较大，不能看成做自由落体运动，同一位置重力加速度是相同的，A、D错误，B正确；假如地球上没有空气，则苹果和树叶不受空气阻力，都做自由落体运动，下落快慢相同，同时落地，C正确。

知识点二　自由落体运动规律的应用

1．自由落体运动的基本公式：

匀变速直线运动规律自由落体运动规律

2．自由落体运动的中间一段过程的分析方法：

(1)差值法：从物体开始下落开始研究，物体做自由落体运动，如求物体下落后第4 s内的位移，可以用自由落体前4 s的位移与前3 s的位移的差求得。

(2)初速法：如求物体下落后第4 s内的位移，可以先根据v0＝gt1求出第4 s内的初速度，再利用h＝v0t2＋gt求出相应的位移。

【典例】如图所示，悬挂的直杆AB长为a，在B端以下h处有一高为b的无底圆柱筒CD，圆柱筒的直径远大于直杆的直径。不计一切阻力，①，求：

(1)直杆②；

(2)③

【解题关键】

【解析】(1)直杆B端穿过圆柱筒的时间为：从B端下落到C点起到B端下落到D点的时间。

由x＝gt2得t＝

则B端下落到C点所需时间t1＝

B端下落到D点所需时间t2＝

则直杆B端穿过圆柱筒的时间是

Δt1＝t2－t1＝－。

(2)整个直杆穿过圆柱筒的时间为：从B端下落到C点起到A端下落到D点的时间。

A端下落到D点所需时间t3＝

可得整个直杆穿过圆柱筒的时间是

Δt2＝t3－t1＝－。

答案：(1)－　(2)－

1．秋天，一片梧桐树叶自5 m高的树枝落下，它落地的时间可能为(　　)

A．0.1 s    B．0.5 s    C．1 s    D．3 s

【解析】选D。从高为5 m的树枝落下的树叶的运动不是自由落体运动，时间大于自由落体运动的时间；根据h＝gt2，解得：t＝1 s，所以树叶落地时间一定大于1 s。

2．(多选)物体从离地面高45 m处做自由落体运动(g取10 m/s2)，则下列说法中正确的是(　　)

A．物体运动3 s后落地

B．物体落地时的速度大小为30 m/s

C．物体在落地前最后1 s内的位移大小为15 m

D．物体在整个下落过程中的平均速度大小为20 m/s

【解析】选A、B。根据位移公式h＝gt2，有：t＝＝3 s，故A正确；根据速度与位移的关系公式v2＝2gh，得：v＝＝30 m/s，故B正确；物体在落地前最后1 s 内的位移大小：h2＝h－gt＝45 m－×10×22 m＝25 m，故C错误；由平均速度定义可得，物体在整个下落过程中的平均速度大小：＝＝ m/s＝15 m/s，故D错误。

3．在20米高的塔顶上以v0＝20 m/s的初速度竖直向上抛出一物体(g取10 m/s2)，求：

(1)上升到最大高度时离塔顶多高？

(2)落到地面时的速度为多少？

(3)整个过程中的总时间为多少？

【解析】(1)根据速度位移公式可知，上升到最大高度时离塔顶h＝＝20 m

(2)从最高点落到地面时

v2＝2g(h＋H)

所以v＝＝ m/s＝20 m/s

(3)整个过程根据速度时间关系式，取向上为正方向

t＝＝(2＋2) s

答案：(1)20 m　(2)20 m/s　(3)(2＋2) s

知识点三　测量重力加速度的方法

1．打点计时器法：

(1)按图示连接好线路，并用手托重物将纸带拉到最上端。

(2)安装打点计时器时要使两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。

(3)应选用质量和密度较大的重物。增大重力可使阻力的影响相对减小；增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小。

(4)先接通电路再放开纸带。打完一条纸带后立刻断开电源。

(5)对纸带上计数点间的距离h进行测量。利用hn－hn－1＝gT2求出重力加速度。

2．频闪照相法：

(1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置。

(2)根据匀变速运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝。也可以根据v＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝求出重力加速度g。

3．滴水法：

(1)让水滴落到垫起来的盘子上，可以清晰地听到水滴碰盘子的声音，细心地调整水龙头的阀门，使第一个水滴碰到盘子听到响声的瞬间，注视到第二个水滴正好从水龙头滴水处开始下落。

(2)听到某个响声时开始计时，并数0，以后每听到一次响声，顺次加1，直到数到N，停止计时，表上时间的读数是T。

(3)用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离为h。

(4)由h＝gt2和t＝得g＝＝＝。

【典例】利用图中所示的装置可以研究自由落体运动。实验中需要调整好仪器，接通打点计时器的电源，松开纸带，使重物下落，打点计时器会在纸带上打出一系列的小点。

(1)若实验时用到的计时器为电磁打点计时器，则需接通________电源；打点计时器的安装要使两个限位孔在同一________(选填“水平”或“竖直”)线上，以减少摩擦阻力。

(2)实验过程中下列说法正确的是 (　　)

A．接通电源的同时要立刻释放重物

B．选取纸带时要选取第1个计时点与第2个计时点之间的距离接近4 mm且清晰的纸带

C．释放重物之前要让重物靠近打点计时器

D．为了使实验数据更加准确可取多次测量结果的平均值

(3)为了测得重物下落的加速度，还需要的实验器材有(　　)

A．天平　　　　B．秒表　　　　C．刻度尺

(4)若实验中所得到的重物下落的加速度值小于当地的重力加速度值，而实验操作与数据处理均无错误，写出一个你认为可能引起此误差的原因：____________________________________________________________________

__________________________________________________________________。

【解析】(1)电磁打点计时器需要用低压交流电压；安装打点计时器时要注意让上下限位孔在同一竖直线上，从而减小摩擦阻力。

(2)应先接通电源，稳定后再释放纸带，故A错误；选择纸带时应选择点迹清楚，前两个点间距接近2 mm的纸带，故B错误；释放重物前，应让重物靠近打点计时器；故C正确；实验中只需对一条纸带进行处理即可，不需要多测几次，故D错误。

(3)据运动学公式得：Δx＝aT2，a＝，为了测试重物下落的加速度，还需要的实验器材有：刻度尺，用来测量计数点之间的距离。该实验中不需要天平，通过打点计时器打点的时间间隔可以计算出计数点之间的时间间隔，所以也不需要秒表。

(4)若实验中所得到的重物下落的加速度值小于当地的重力加速度值，说明重物下落过程中除了受重力，还受到了打点计时器对纸带的摩擦力。

答案：(1)低压交流　竖直　(2)C　(3)C

(4)打点计时器与纸带之间存在摩擦(或纸带与空气之间存在摩擦)

1．滴水法测重力加速度的过程如下：让水龙头中的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子而听到声音时，后一滴水恰好离开水龙头。从第1次听到水击盘声时开始计时，测出n次听到水击盘声的总时间为t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度。设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1 s，声速为340 m/s。g取10 m/s2，则(　　)

A．水龙头距人耳的距离至少为34 m

B．水龙头距盘子的距离至少为34 m

C．重力加速度的计算式为

D．重力加速度的计算式为

【解析】选D。只要相邻两滴水滴下的时间间隔超过0.1 s，人耳就能分辨出两滴水的击盘声，与水龙头距人耳的距离无关，在0.1 s内，水滴下落的距离x＝gt2＝×10×0.12 m＝0.05 m，即水龙头距盘子的距离至少应为0.05 m，故选项A、B错误；n次响声对应(n－1)滴水下落所用的时间，所以每滴水滴下落时间为t1＝，由h＝gt得，g＝＝，故选项C错误，D正确。

2.丁丁同学想通过频闪照相研究小球的自由落体运动，从而计算重力加速度。如果得到的频闪照片如图，单位是厘米。频闪的时间间隔为T＝0.04 s，利用这些数据：

(1)根据照片可以判断小球做匀加速直线运动，理由是____________________________________________________________________

_____________________________________________________(请用文字描述)；

(2)由第一问的方法求当地重力加速度g的表达式为____________；

(3)请根据题目中的数据计算当地重力加速度g＝____________(结果保留1位小数)。

【解析】(1)根据图中所给数据，可以计算出连续相等时间的位移差相等，由此判断出小球做匀加速直线运动；

(2)小球做匀变速直线运动，连续相等时间的位移差满足：Δx＝aT2，故小球的重力加速度可表示为：g＝，式中Δx为连续相等时间的位移差，T为频闪的时间间隔；

(3)由逐差法求加速度公式得xⅡ－xⅠ＝gT2

g＝＝

 m/s2＝9.4 m/s2

答案：(1)连续相等时间的位移差相等

(2)g＝(Δx为连续相等时间的位移差，T为频闪的时间间隔)　(3)9.4 m/s2

【加固训练】

(2021·西宁高一检测)在暗室中用如图所示装置做“测定重力加速度”的实验。实验器材有：支架、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、一根荧光刻度的米尺、频闪仪。具体实验步骤如下：

①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，水滴会以一定的频率一滴滴落下。

②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率直到第一次看到一串仿佛固定不动的水滴。

③用竖直放置的米尺测得各个水滴所对应的刻度。

④采集数据进行处理。

(1)实验中观察到水滴“固定不动”时的闪光频率为30 Hz，某同学读出其中比较远的水滴到第一个水滴的距离如图所示，根据数据测得当地重力加速度g＝______m/s2；第7个水滴此时的速度v7＝______m/s。(结果都保留三位有效数字)

(2)该实验存在的系统误差可能有(答出一条即可)：

__________________________________________________________________。

【解析】(1)由题意可知，由大到小逐渐调节频闪仪的频率直到第一次看到一串仿佛固定不动的水滴，说明相邻两次闪光的时间间隔，刚好等于相邻水滴下落的时间间隔，该时间间隔为：T＝＝ s

所以，根据逐差法，重力加速度的计算如下：

g＝ m/s2＝9.72 m/s2

第7个水滴的瞬时速度：

v7＝ m/s＝1.94 m/s

(2)存在空气阻力会对水滴的运动产生影响，水滴滴落的频率不恒定也会对实验产生影响。

答案：(1)9.72　1.94

(2)存在空气阻力(或水滴滴落的频率变化)

【拓展例题】考查内容：自由落体运动规律的 综合应用

【典例】某晚，美军在伊拉克进行的军事行动中动用了空降兵，美机在200 m高处超低空水平飞行，空降兵离开飞机后先做自由落体运动，运动一段时间后立即打开降落伞，展伞后空降兵以14 m/s2的加速度匀减速下降。为了安全要求，空降兵落地的速度不能超过4 m/s(g取10 m/s2)。伊方地面探照灯每隔10 s扫描一次，求空降兵能否利用探照灯的照射间隔安全着陆。

【解析】只要下落时间小于10 s，就能充分利用探照灯的照射间隔时间安全着陆。设展伞时离地高度为h，自由下落阶段2g(H0－h)＝v

匀减速阶段v－v＝2ah

解得h＝83 m，v1＝48.4 m/s

自由下落时间t1＝＝4.84 s

减速时间t2＝＝3.17 s

t＝t1＋t2≈8 s<10 s，所以能安全着陆。

答案：能。

甲乙两同学利用如图所示的方法估测反应时间。

探究：

(1)请设计测量方案。

(2)已知乙同学的反应时间最长为0.4 s，则所用直尺的长度至少为多长？(g取10 m/s2)

【解析】(1)①首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。

②当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，捏住位置的刻度读数为x。

③由x＝gt2解得t＝即反应时间。

(2)在人的反应时间内直尺做自由落体运动，由x＝gt2可求出尺子的长度；反应时间最长为0.4 s，需要直尺的长度为xm＝×10×0.42 m＝0.8 m＝80 cm。

答案：(1)见解析　(2)80 cm

如图所示，有两根长约为1 m的玻璃管，内装羽毛、小金属片，其中一根用抽气机抽成真空。让玻璃管竖直，观察各种物体在两根管中下落时的现象。

探究：

(1)两根管中物体下落的现象有什么不同？

(2)若将管内抽成真空，羽毛从竖直管顶端下落到底端需要多长时间？

【解析】(1)在有空气的玻璃管中，金属片比羽毛下落得快；在抽掉空气的玻璃管中，金属片和羽毛下落的快慢相同。

(2)由h＝gt2得t＝＝ s＝ s

答案：(1)见解析　(2) s

1．伽利略为了研究自由落体运动的规律，将落体实验转化为著名的沿斜面运动的实验，当时利用斜面做实验主要是考虑到(　　)

A.实验时便于测量铜球运动的速度

B．实验时便于测量铜球运动的路程

C．实验时便于测量铜球运动的时间

D．实验时便于测量铜球运动的加速度

【解析】选C。伽利略最初假设自由落体运动的速度是随着时间均匀增大，但是他所在的那个时代还无法直接测定物体的瞬时速度，所以不能直接得到速度随时间的变化规律。伽利略通过数学运算得到结论：如果物体的初速度为零，而且速度随时间的变化是均匀的，那么它通过的位移与所用的时间的二次方成正比，这样，只要测出物体通过不同位移所用的时间，就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化。但是物体下落很快，当时只能靠滴水计时，这样的计时工具还不能测量自由落体运动所用的较短的时间。伽利略采用了一个巧妙的方法，用来“冲淡”重力。他让铜球沿阻力很小的斜面滚下，铜球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落的加速度小得多，所用时间长，所以容易测量，故A、B、D错误，C正确。

2.如图所示，在桌面上方有三个金属小球a、b、c，它们离桌面的高度之比为h1∶h2∶h3＝3∶2∶1，若按先后顺序释放三个小球，a、b、c刚好同时到达桌面，若不计小球受到的空气阻力，则(　　)

A．三者到达桌面时速度之比为3∶2∶1

B．三者运动的时间之比为3∶2∶1

C．b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差

D．b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差

【解析】选C。由v2＝2gh，得v＝，到达桌面时的速度之比：v1∶v2∶v3＝∶∶1，故A不符题意；由t＝得三者运动时间之比：t1∶t2∶t3＝ ∶∶1，故B不符合题意；b与a开始下落时间差Δt1＝(－)，c与b开始下落时间差Δt2＝(－1)，所以b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差，故C符合题意，D不符合题意。

3．某同学让重锤做自由落体运动，利用打点计时器打出的纸带来测量当地的重力加速度。该同学在实验中得到6条纸带，如图所示为其中一条，在纸带上取6个计数点，两个相邻计数点间的时间间隔为T＝0.02 s。其中1、2、3点相邻，4、5、6点相邻，在3点和4点之间还有若干个点。s1是1、3两点的距离，s3是4、6两点的距离，s2是2、5两点的距离。

(1)测s1、s2、s3后，点2速度的表达式v2＝________(结果用题中所给的字母符号表示)

(2)该同学测得的数据是s1＝4.00 cm，s2＝19.30 cm，s3＝8.72 cm，根据数据求出重力加速度g＝________m/s2(保留小数点后两位)。

【解析】(1)根据中点时刻的速度等于平均速度得点2速度为：v2＝

(2)根据中点时刻的速度等于平均速度得点5速度为：

v5＝，根据匀加速直线运动位移速度公式可知：

2gs2＝v－v，代入数据解得：g＝9.72 m/s2

答案：(1)　(2)9.72

4.小敏在学过自由落体运动规律后，对自家房上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿。小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子(g取10 m/s2)，求：

(1)滴水的时间间隔；

(2)此屋檐离地面多高。

【解析】方法一：基本公式法

设屋檐离地面高为h，滴水间隔为T。

由位移公式h＝gt2得，

第2滴水下落的位移h2＝g(3T)2

第3滴水下落的位移h3＝g(2T)2

且h2－h3＝1 m

解得T＝0.2 s

则屋檐高h＝g·(4T)2＝3.2 m。

方法二：比例法

设屋檐离地面高为h，滴水间隔为T。

由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两水滴之间的距离从上到下依次是1s、3s、5s、7s。

由题意知，窗子高为5s，则5s＝1 m，s＝0.2 m，

屋檐高h＝1s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m。

由位移公式h＝gt2得滴水的时间间隔

T＝＝0.2 s。

方法三：平均速度法

设滴水间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为＝。

其中h＝1 m。

由于雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT，又v2.5＝，

所以＝2.5gT，解得T＝0.2 s，

屋檐高h＝g·(4T)2＝3.2 m。

答案：(1)0.2 s　(2)3.2 m