初中数学第十五章 四边形综合与测试精练

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京改版八年级数学下册第十五章四边形同步练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知中，，，CD是斜边AB上的中线，则的度数是（    ）A． B． C． D．2、勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：①BI＝CD；②2S△ACD＝S1；③S1＋S4＝S2＋S3；④＋＝．其中正确的结论有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）A．20º B．25º C．30º D．35º4、下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）A． B． C． D．5、下列图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．6、在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（    ）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<127、下列图案中，是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．8、如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（    ）A．1 B．1.5 C．2 D．49、如图，在中，，，AD平分，E是AD中点，若，则CE的长为（    ）A． B． C． D．10、下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC=__．2、一个正多边形的每个外角都等于45°，那么这个正多边形的内角和为______度．3、如图，矩形的对角线、相交于点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留）4、菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的对角线分别为________．5、如图，将长方形ABCD按图中方式折叠，其中EF、EC为折痕，折叠后、、E在一直线上，已知∠BEC＝65°，那么∠AEF的度数是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．2、如图：在中，，，点为的中点，点为直线上的动点（不与点，重合），连接，，以为边在的上方作等边，连接．（1）是________三角形；（2）如图1，当点在边上时，运用（1）中的结论证明；（3）如图2，当点在的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．3、已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．
 4、（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A；（拓展应用）（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．5、如图，在矩形中，为对角线．（1）用尺规完成以下作图：在上找一点，使，连接，作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，若，求的度数． -参考答案-一、单选题1、B【分析】由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，
∴∠A=36°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=36°.
故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．2、C【分析】根据SAS证△ABI≌△ADC即可得证①正确，过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，根据边的关系得出S△ABI＝S1，即可得出②正确，过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，证S1＝S3即可得证③正确，利用勾股定理可得出S1+S2＝S3+S4，即能判断④不正确．【详解】解：①∵四边形ACHI和四边形ABED都是正方形，∴AI＝AC，AB＝AD，∠IAC＝∠BAD＝90°，∴∠IAC+∠CAB＝∠BAD+∠CAB，即∠IAB＝∠CAD，在△ABI和△ADC中，，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴BI＝CD，故①正确；②过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，∴∠BMA＝90°，∵四边形ACHI是正方形，∴AI＝AC，∠IAC＝90°，S1＝AC2，∴∠CAM＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CAM＝∠BMA＝90°，∴四边形AMBC是矩形，∴BM＝AC，∵S△ABI＝AI•BM＝AI•AC＝AC2＝S1，由①知△ABI≌△ADC，∴S△ACD＝S△ABI＝S1，即2S△ACD＝S1，故②正确；③过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，∴∠CNA＝90°，∵四边形AKJD是矩形，∴∠KAD＝∠AKJ＝90°，S3＝AD•AK，∴∠NAK＝∠AKC＝90°，∴∠CNA＝∠NAK＝∠AKC＝90°，∴四边形AKCN是矩形，∴CN＝AK，∴S△ACD＝AD•CN＝AD•AK＝S3，即2S△ACD＝S3，由②知2S△ACD＝S1，∴S1＝S3，在Rt△ACB中，AB2＝BC2+AC2，∴S3+S4＝S1+S2，又∵S1＝S3，∴S1+S4＝S2+S3，  即③正确；④在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，∴S3+S4＝S1+S2，∴，故④错误；综上，共有3个正确的结论，故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键．3、C【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．【详解】∵ADBC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．4、B【分析】由题意直接根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得出答案．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．5、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6、C【分析】作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，然后在中，利用三角形三边的关系即可确定m的取值范围．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，在中，，∴，即，故选：C．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．7、B【分析】由题意依据一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形对各选项分析判断即可．【详解】解：A、C、D都是轴对称图形，只有B选项是中心对称图形.故选：B.【点睛】本题考查中心对称图形的识别，注意掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8、C【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．【详解】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵AC=BC=8，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG，
在△FCD和△ECG中，，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=2．
故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．9、B【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB=∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°-30°=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠BAC=30°，∴∠DAB=∠B，∴AD=BD=a，在Rt△ACB中，E是AD中点，∴CE=AD=，故选： B．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．10、A【分析】把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.【详解】解：选项A中的图形是中心对称图形，故A符合题意；选项B中的图形不是中心对称图形，故B不符合题意；选项C中的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；选项D中的图形不是中心对称图形，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.二、填空题1、【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝AC＝×12＝6，∠ADC=90°，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝6，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形．2、1080【分析】利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】解：∵正多边形的每一个外角都等于，∴正多边形的边数为360°÷45°=8，所有这个正多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°．故答案为：1080．【点睛】本题考查了多边形内角与外角等知识，熟知多边形内角和定理（n﹣2）•180 °（n≥3）和多边形的外角和等于360°是解题关键．3、##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，，∴图中阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4、6和8【分析】根据比例设两条对角线分别为3x、4x，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求出x的值即可．【详解】解：设两条对角线分别为3x、4x，根据题意得，×3x•4x=24，解得x=2（负值舍去），∴菱形的两对角线的长分别为，．故答案为：6和8．【点睛】本题考查了菱形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积的求法，需熟记．5、25°【分析】利用翻折变换的性质即可解决．【详解】解：由折叠可知，∠EF＝∠AEF，∠EC＝∠BEC＝65°，∵∠EF+∠AEF+∠EC+∠BEC＝180°，∴∠EF+∠AEF＝50°，∴∠AEF＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∵E为CD的中点，∴ED＝EC，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∴BE⊥AF．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．2、（1）等边；（2）见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，即可证明△OBC是等边三角形；
（2）先证明，即可利用SAS证明，得到；（3）先证明，即可利用SAS证明，得到．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，O是AB的中点，∴，∴△OBC是等边三角形，故答案为：等边；（2）由（1）可知，，，是等边三角形，，，，即，在和中，，；（3）成立，证明：由（1）可知，，，是等边三角形，，，，即，在和中，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．3、见解析【分析】连接，根据平行四边形的性质可得AO=OC，DO=OB，由M是AO的中点，N是CO的中点，进而可得MO=ON,进而即可证明四边形是平行四边形，即可得证．【详解】如图，连接，
 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，DO=OB．∵M为AO的中点，N为CO的中点，即∴MO=ON．四边形是平行四边形，∴BM∥DN，BM=DN．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．4、（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系；（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD=a，根据已知条件得到∠ABC=180°-2a，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．【详解】（1）证明：∵∠ACD是△ABC的外角∴∠ACD＝∠A+∠ABC∵CE平分∠ACD∴又∵∠ECD＝∠E+∠EBC∴∵BE平分∠ABC∴∴∴；（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°∵∠CBA＝40°∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°∵AD平分∠BAC∴∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD设∠CBD＝α∵∠ABD+∠CBD＝180°∴∠ABC＝180°﹣2α∵∠ACB＝82°∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝∠CAB＝α﹣41°∴∠CAD+41°＝∠CBD．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．5、（1）图形见解析；（2）【分析】（1）利用尺规根据题意即可完成作图；
（2）结合（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角定理可得的度数．【详解】（1）如图，点E和点F即为所求；

 （2）∵，∠ABD=68°，
∴∠AEB=∠AEB=68°∴∠EAB=180°-68°-68°=44°，
∴∠EAD=90°-44°=46°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠FAE=∠DAE=23°，
∴【点睛】题考查了尺规作图-作角平分线，矩形的性质，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．